Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.5 Уравнение Фоккера – Планка [26]
На основе принципов неравновесной термодинамики можно получить
уравнение, включающее в себя уравнение диффузии, как частный случай.
Введем вероятность
dee
f
)(
того, что вся система находится в состоянии e.
Нестационарная функция распределения
),(
t
e
f
может быть выражена через
стационарную часть
)(e
f
и нестационарную плотность вероятности
),',(
t
ee
K
:
edteeKeftef
′′
=
∫
);;()(),( (3.38)
Для марковских (случайных) процессов нестационарная плотность
вероятности удовлетворяет уравнению Чепмена
−Колмогорова:
edteteKteteKteteK
′′′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
=
′′
∫
),;,(),;,(),;,(
,
которое в предположении медленности процесса известными методами
сводится к уравнению:
[][]
0)(),;(
2
1
)(),;(
),;(
2
2
=
′
−
′
+
′
ebteeK
e
eateeK
Et
teeK
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(3.39)
где
edteeKee
ea
t
′′
−
′
=
∫
→
),;()(
1
lim)(
0
,
84
                       3.5 Уравнение Фоккера – Планка [26]

           На основе принципов неравновесной термодинамики можно получить

уравнение, включающее в себя уравнение диффузии, как частный случай.

Введем вероятность f (e)de того, что вся система находится в состоянии e.

Нестационарная функция распределения f (e, t ) может быть выражена через

стационарную            часть f (e)        и     нестационарную               плотность          вероятности

K ( e, e ' , t ) :

                                      f (e, t ) = ∫ f (e) K (e; e′ ; t )de′                          (3.38)



         Для марковских (случайных) процессов нестационарная плотность

вероятности удовлетворяет уравнению Чепмена−Колмогорова:

                     K (e, t ; e′, t ′) = ∫ K (e, t ; e′′, t ′′) K (e′′, t ′′; e′, t ′) de′′ ,

которое в предположении медленности процесса известными методами

сводится к уравнению:

          ∂ K (e; e′, t ) ∂                        1∂2
                         +    [K (e; e′, t )a(e)] − 2 [ K (e; e′, t )b(e) ] = 0 (3.39)
              ∂t           ∂E                      2 ∂e

где

                                             1
                               a (e) = lim ∫ (e′ − e)K (e; e′, t )de′ ,
                                        t →0 t

                                                                                                          84

Страницы