Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 19 стр.

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                     19



      Третий из приводимых здесь методов представляется наиболее
компактным и скоростным с вычислительной точки зрения. Этот метод был
предложен автору Д. Чистяковым в 1999 году. Заметим, что очень просто
можно определить принадлежность точки внутренней области треугольника –
единичного симплекса, то есть треугольника, образованного точками с
координатами P = (0,0 ) , Q = (1,0 ) , R = (0,1) . Для этого достаточно чтобы
координаты искомой точки имели значения в отрезке (0,1) и выполнялось
условие x + y < 1 , где x и y - координаты точки. Заметим также, что с
помощью аффинных преобразований на плоскости или непрерывных
деформаций любой треугольник можно преобразовать к единичному
симплексу.




      Рис. 13. Приведение произвольного треугольника к единичному
      симплексу.

        После таких преобразований внутренняя и внешняя области
треугольника остаются таковыми. Применив такое преобразование к искомой
точке, достаточно затем будет определить ее нахождение во внутренней или
внешней области симплекса. Найдем такое преобразование. Координаты
векторов единичного базиса совпадают с координатами точек Q и R
симплекса, соответственно. Будем считать что точка C треугольника
совпадает с началом координат. Этого всегда можно добиться параллельным
переносом треугольника на вектор − C . При этом координаты точек A и B
треугольника суть коэффициенты разложения соответствующих векторов A
и B по единичному базису. Матрица перехода M от единичного базиса к
базису на векторах A и B составлена из координат этих векторов.