ВУЗ:
Составители:
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1 61
bhbh
GM
P
P
P
P
R
R
P
P
G =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
4
1
4
1
3300
0033
1000
0001
, (*)
где
b
G - геометрический вектор Безье. Подставляя это в выражение для
()
tx , получаем
()
(
)
(
)()
4
3
3
2
2
2
1
3
13131 PtPttPttPtGMTMGTMtx
bxhbhhxh
+−+−+−=== .
Полезным свойством сплайнов в форме Безье является то что кривая
всегда лежит внутри выпуклой оболочки, образованной четырехугольником
()
4321
PPPP . Это свойство можно доказать, пользуясь тем, что в выражении (*)
коэффициенты принимают значения от 0 до 1 и их сумма равна единице.
Заметим, что матрица вида
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
==
0001
0033
0363
1331
bhbh
MMM - называется матрицей Безье.
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1 61
⎡ P1 ⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎡ P1 ⎤
0
⎢P ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ P2 ⎥
0
Gh = ⎢ 4 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = M hb Gb , (*)
⎢ R1 ⎥ ⎢− 3 3 0 0⎥ ⎢ P3 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ R4 ⎦ ⎣ 0 0 − 3 3⎦ ⎣ P4 ⎦
где Gb - геометрический вектор Безье. Подставляя это в выражение для
x(t ) , получаем
( )
x(t ) = TM h Ghx = TM h M hb Gbx = 1 − t 3 P1 + 3t (t − 1)2 P2 + 3t 2 (1 − t )P3 + t 3 P4 .
Полезным свойством сплайнов в форме Безье является то что кривая
всегда лежит внутри выпуклой оболочки, образованной четырехугольником
(P1P2 P3 P4 ) . Это свойство можно доказать, пользуясь тем, что в выражении (*)
коэффициенты принимают значения от 0 до 1 и их сумма равна единице.
Заметим, что матрица вида
⎡ − 1 3 − 3 1⎤
⎢ 3 − 6 3 0⎥
M h M hb = M b = ⎢ ⎥ - называется матрицей Безье.
⎢− 3 3 0 0⎥
⎢ ⎥
⎣1 0 0 0⎦
