Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 58 стр.

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                                                 58



                           ⎧ x(t ) = a x t 3 + bx t 2 + c x t + d x
                           ⎪
                           ⎨ y (t ) = a y t + b y t + c y t + d y
                                           3        2

                           ⎪ z (t ) = a t 3 + b t 2 + c t + d
                           ⎩            z        z        z       z

      Координаты точек на кривой описываются вектором ( x(t ), y (t ), z (t )) , а
три производные задают координаты соответствующего касательного вектора
в точке. Например, для координаты x :
                                dx
                                     = 3a x t 2 + 2bx t + c x .
                                dt
      Одним из способов задания параметрического кубического сплайна
является указание координат начальной и конечной точек, а также векторов
касательных в них. Такой способ задания называется формой Эрмита.
Обозначим концевые точки P1 и P4 , а касательные векторы в них R1 и R4 .
Индексы выбраны таким образом с учетом дальнейшего изложения.
      Будем решать задачу нахождения четверки коэффициентов a x , bx , c x , d x ,
так как для оставшихся двух уравнений коэффициенты находятся аналогично.
Запишем условие для построения сплайна:

                       x(0 ) = P1x , x(1) = P4 x , x ' (0 ) = R1x , x ' (1) = R4 x             (*)
       Перепишем выражение для x в векторном виде:
                                                                ⎡a ⎤
                                                                ⎢b ⎥
                                                  [            ]
                                           x(t ) = t , t , t ,1 ⎢ ⎥ .
                                                    3 2
                                                                ⎢c ⎥
                                                                ⎢ ⎥
                                                                ⎣d ⎦ x

       Обозначим   вектор строку T = t 3 , t 2 , t ,1      [          ]     и        вектор   столбец
                    ⎡a ⎤
                    ⎢b ⎥
коэффициентов C x = ⎢ ⎥ , тогда x(t ) = TC x .
                    ⎢c ⎥
                    ⎢ ⎥
                    ⎣d ⎦ x
       Из (*) следует, что x(0 ) = P1x = [0,0,0,1]C x , x(1) = P4 x = [1,1,1,1]C x . Для
                        [            ]
касательных x ' (t ) = 3t 2 ,2t ,1,0 C x , ⇒