Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 56 стр.

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                            56



поверхностей равны I 1 и I 2 . Пусть первая поверхность находится ближе к
наблюдателю и является полупрозрачной с коэффициентом прозрачности α .
Тогда суммарная интенсивность отраженного света может быть вычислена
как взвешенное среднее: I = I 1α + I 2 (1 − α ) .
     Модели для вычисления эффектов преломления и свечения здесь не
рассматриваются.

      Кубические сплайны
      Рассмотрим задачу проведения гладких кривых по заданным
граничным точкам, или задачу интерполяции. Поскольку через две точки
можно провести сколь угодно много гладких кривых, то для решения этой
задачи необходимо ограничить класс функций, которые будут определять
искомую кривую. Математическими сплайнами называют функции,
используемые для аппроксимации кривых. Важным их свойством является
простота вычислений. На практике часто используют сплайны вида
полиномов третьей степени. С их помощью довольно удобно проводить
кривые, которые интуитивно соответствуют человеческому субъективному
понятию гладкости. Термин “сплайн” происходит от английского spline – что
означает гибкую полоску стали, которую применяли чертежники для
проведения плавных кривых, например, для построения обводов кораблей
или самолетов.
      Рассмотрим в начале сплайновую функцию для построения графика
функции одной переменной. Пусть на плоскости задана последовательность
точек {xi , yi }, i = 0, m , причем x0 < x1 <,..., xm −1 < xm . Определим искомую
функцию y = S ( x ) , причем поставим два условия:
1) Функция должна проходить через все заданные точки: S ( x i ) = y i , i = 0, m .
2) Функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема, то есть
   иметь непрерывную вторую производную на всем отрезке [x0 , xm ] .
На каждом из отрезков [xi , xi +1 ] , i = 0, m − 1 будем искать нашу функцию в
виде полинома третьей степени:
                                           3
                              Si (x ) =   ∑ aij (x − xi )
                                                            j
                                                                .
                                          j =0