Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1 57
Рис. 40. Сплайновая функция.
Задача построения полинома сводится к нахождению коэффициентов
ij
a . Поскольку для каждого из отрезков
[
]
1
,
+ii
xx необходимо найти 4
коэффициента
ij
a , то всего количество искомых коэффициентов будет m4.
Для нахождения всех коэффициентов определим соответствующее
количество уравнений. Первые
(
)
1
−
m уравнений получаем из условий
совпадения значений функции во внутренних узлах
i
x , 1,1 −= mi . Следующие
()
12 −m уравнений получаем аналогично из условий совпадения значений
первых и вторых производных во внутренних узлах. Вместе с первым
условием получаем 241111
−
=
+
+
−
+
−
+
−
mmmmm уравнений.
Недостающие два уравнения можно получить заданием значений первых
производных в концевых точках отрезка
[
]
m
xx ,
0
. Так могут быть заданы
граничные условия.
Перейдем к более сложному случаю – заданию кривых в трехмерном
пространстве. В случае функционального задания кривой
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=
=
xfz
xfy
возможны многозначности в случае самопересечений и неудобства при
значениях производных равных
∞
. Ввиду этого будем искать функцию в
параметрическом виде. Пусть
t
- независимый параметр, такой что 10
≤
≤
t
.
Кубическим параметрическим сплайном назовем следующую систему
уравнений: 
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                         57




                         Рис. 40. Сплайновая функция.

       Задача построения полинома сводится к нахождению коэффициентов
aij . Поскольку для каждого из отрезков [xi , xi +1 ] необходимо найти 4
коэффициента aij , то всего количество искомых коэффициентов будет 4m .
Для нахождения всех коэффициентов определим соответствующее
количество уравнений. Первые (m − 1) уравнений получаем из условий
совпадения значений функции во внутренних узлах xi , i = 1, m − 1. Следующие
2(m − 1) уравнений получаем аналогично из условий совпадения значений
первых и вторых производных во внутренних узлах. Вместе с первым
условием     получаем      m − 1 + m − 1 + m − 1 + m + 1 = 4m − 2   уравнений.
Недостающие два уравнения можно получить заданием значений первых
производных в концевых точках отрезка [x0 , xm ] . Так могут быть заданы
граничные условия.
      Перейдем к более сложному случаю – заданию кривых в трехмерном
                                                                     ⎧ y = f (x )
пространстве. В случае функционального задания кривой ⎨
                                                                     ⎩ z = f (x )
возможны многозначности в случае самопересечений и неудобства при
значениях производных равных ∞ . Ввиду этого будем искать функцию в
параметрическом виде. Пусть t - независимый параметр, такой что 0 ≤ t ≤ 1 .
Кубическим параметрическим сплайном назовем следующую систему
уравнений:

Страницы