Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

136
Çàäà÷à 6. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé
Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé
0=++ CByAx
, (5.7)
ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì
()
BAn,
r
. Åñëè âåêòîð
n
r
íîðìèðîâàí, òî
1
22
=+= BAn
r
.
 ýòîì ñëó÷àå èç ðèñ. 5.10 ìû âè-
äèì, ÷òî
α= cosA
,
α= sinB
, (5.56)
ãäå
α
- óãîë íàêëîíà âåêòîðà
n
r
ê îñè
Ox
.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ïðÿìîé
(5.7) ñ ó÷¸òîì (5.56)
0=−α+α pyx sincos
, (5.57)
ãäå
0>−= Cp
. (5.58)
Óðàâíåíèå ïðÿìîé âèäà (5.57) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì
óðàâíåíèåì ïðÿìîé.
 âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä:
()
0
=−
prn
rr
,
èëè
()
prn
=
rr
,
, (5.59)
òàê êàê
jBiAn
rr
r
+=
,
jyixr
rr
r
+=
è ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â (5.59) è ó÷èòûâàÿ (5.58) ïîëó÷èì
()
()
0
=++=−++=−
CByAxpjyixjBiAprn
rrrr
rr
,,
.
Åñëè
1≠n
r
, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèâåñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé
(5.7) ê íîðìàëüíîìó âèäó íàäî óìíîæèòü åãî íà íîðìèðóþùèé
ìíîæèòåëü
n
r
α
l
y
x
Î
Ðèñ. 5.10.
136
Çàäà÷à 6. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé

     Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé
                Ax + By + C = 0 ,                        (5.7)
                        r                     r
ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì n (A, B ) . Åñëè âåêòîð n íîðìèðîâàí, òî
                                      r
 y                                    n = A2 + B 2 = 1 .
                                     ýòîì ñëó÷àå èç ðèñ. 5.10 ìû âè-
                r             äèì, ÷òî
                n
                               A = cos α , B = sin α ,        (5.56)
 l                                                            r
                              ãäå α - óãîë íàêëîíà âåêòîðà n ê îñè
            α
                              Ox .
Î                           x       Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ïðÿìîé
      Ðèñ. 5.10.              (5.7) ñ ó÷¸òîì (5.56)

                    x cos α + y sin α − p = 0 ,                 (5.57)
ãäå
                       p = −C > 0 .                                (5.58)
     Óðàâíåíèå ïðÿìîé âèäà (5.57) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì
óðàâíåíèåì ïðÿìîé.
     Â âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä:
                       (nr, rr ) − p = 0 èëè (nr, rr ) = p ,       (5.59)
òàê êàê
                              r      r    r r        r r
                              n = Ai + Bj , r = xi + yj
è ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â (5.59) è ó÷èòûâàÿ (5.58) ïîëó÷èì
                               r     r r r
                     (                  )
         (nr, rr ) − p = Ai + Bj , xi + yj − p = Ax + By + C = 0 .
            r
     Åñëè n ≠ 1 , òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèâåñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé
(5.7) ê íîðìàëüíîìó âèäó íàäî óìíîæèòü åãî íà íîðìèðóþùèé
ìíîæèòåëü

Страницы