Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

135
ëåíèå ïîëóïëîñêîñòè ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
()
0
0
≥−
nrr
rrr
,
(5.53)
èëè
0≥++ CByAx
. (5.54)
îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ ïî-
ëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè.
Ïðÿìàÿ
l
è íîðìàëüíûé âåêòîð
n
r
−
çàäàþò äðóãóþ ïîëó-
ïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì
()
0
0
≤−
nrr
rrr
,
èëè
0≤++ CByAx
. (5.55)
Ýòó ïîëóïëîñêîñòü ìû íàçîâ¸ì îòðèöàòåëüíîéïîëóïëîñ-
êîñòüþ. Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî òàêîå ðàçáèåíèå óñëîâíî - îíî îï-
ðåäåëåíî íàïðàâëåíèåì
íîðìàëüíîãî âåêòîðà
n
r
.
Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ
ýòîãî âåêòîðà ðàâíîñèëüíî
óìíîæåíèþ óðàâíåíèÿ ïðÿ-
ìîé íà (-1). Ïðè ýòîì ïî-
ëîæèòåëüíàÿ ïîëóïëîñ-
êîñòü ñòàíîâèòñÿ îòðèöà-
òåëüíîé, è íàîáîðîò.
Ìû âèäèì, ÷òî âûáîð îäíîãî èç óðàâíåíèé ïðÿìîé âûäåëÿ-
åò îäíó, ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü è òåì ñàìûì îïðåäå-
ëÿåò îðèåíòàöèþ ïðÿìîé.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà
()
0000
zyxM,,
ëåæèò íà ïðÿìîé
0=++ CByAx
,
òî òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè
()
ByAx
++
00
,
ëåæèò â ïîëîæèòåëü-
íîé ïîëóïëîñêîñòè, òàê êàê ïîäñòàâèâ ýòè êîîðäèíàòû â óðàâ-
íåíèå ïðÿìîé ïîëó÷èì
()()( )
0
22
0000
>++++=++++
BACByAxCByBAxA
.
Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî íîðìàëüíûé âåêòîð
()
BAn,
r
íàïðàâ-
ëåí â ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿ-
þùèì âåêòîðîì
()
ABa,
−
r
ïðàâóþ ïàðó âåêòîðîâ (ñì. ðèñ. 5.9).
Ðèñ. 5.9.
0<++ CByAx
0>++ CByAx
0
=
+
+
C
By
Ax
n
r
a
r
                                                                     135
ëåíèå ïîëóïëîñêîñòè ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
                  (rr − rr0 , nr ) ≥ 0                            (5.53)
èëè
                   Ax + By + C ≥ 0 .                              (5.54)
îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ “ïî-
ëîæèòåëüíîé” ïîëóïëîñêîñòè.
                                                   r
     Ïðÿìàÿ l è íîðìàëüíûé âåêòîð − n çàäàþò äðóãóþ ïîëó-
ïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì
                  (rr − rr0 , nr ) ≤ 0 èëè Ax + By + C ≤ 0 .      (5.55)
     Ýòó ïîëóïëîñêîñòü ìû íàçîâ¸ì “îòðèöàòåëüíîé” ïîëóïëîñ-
êîñòüþ. Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî òàêîå ðàçáèåíèå óñëîâíî - îíî îï-
                                               ðåäåëåíî íàïðàâëåíèåì
                                                                        r
                                               íîðìàëüíîãî âåêòîðà n .
      Ax + By + C > 0
                                             0 Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ
                                      y + C=
            r                       B          ýòîãî âåêòîðà ðàâíîñèëüíî
            n        r        x+
                     a A                       óìíîæåíèþ óðàâíåíèÿ ïðÿ-
                                               ìîé íà (-1). Ïðè ýòîì “ïî-
                    Ax + By + C < 0            ëîæèòåëüíàÿ” ïîëóïëîñ-
                                               êîñòü ñòàíîâèòñÿ “îòðèöà-
           Ðèñ. 5.9.
                                               òåëüíîé”, è íàîáîðîò.
     Ìû âèäèì, ÷òî âûáîð îäíîãî èç óðàâíåíèé ïðÿìîé âûäåëÿ-
åò îäíó, “ïîëîæèòåëüíóþ” ïîëóïëîñêîñòü è òåì ñàìûì îïðåäå-
ëÿåò îðèåíòàöèþ ïðÿìîé.
     Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà M0 (x0 , y0 , z0 ) ëåæèò íà ïðÿìîé
                           Ax + By + C = 0 ,
òî òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (x0 + A, y0 + B ) ëåæèò ⠓ïîëîæèòåëü-
íîé” ïîëóïëîñêîñòè, òàê êàê ïîäñòàâèâ ýòè êîîðäèíàòû â óðàâ-
íåíèå ïðÿìîé ïîëó÷èì
       A(x0 + A) + B (y0 + B ) + C = (Ax0 + By0 + C ) + A2 + B 2 > 0 .
                                                          r
     Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî íîðìàëüíûé âåêòîð n (A, B ) íàïðàâ-
ëåí ⠓ïîëîæèòåëüíóþ” ïîëóïëîñêîñòü è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿ-
                   r
þùèì âåêòîðîì a (− B, A) ïðàâóþ ïàðó âåêòîðîâ (ñì. ðèñ. 5.9).

Страницы