Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

137
22
1
BA +
±=λ
. (5.60)
äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì òàê âûáèðàòü çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì,
÷òîáû ïðîèçâåäåíèå
Cλ
áûëî îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, ò.å.
áóäåì áðàòü çíàê
()
+
åñëè
0<C
è
()
−
åñëè
0>C
.
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû
p
â íîðìàëüíîì
óðàâíåíèè ïðÿìîé (5.57).  ýòîì ñëó÷àå
íîðìàëüíûé âåêòîð åñòü
()
αα
sin,cosn
r
. Ïå-
ðåíåñ¸ì ýòîò âåêòîð â íà÷àëî êîîðäèíàò
(ðèñ. 5.11), òîãäà, ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèé
îòíîñèòåëüíî âûáîðà çíàêà ó
p
âåêòîð
n
r
áóäåò îáðàù¸í â ñòîðîíó ïðÿìîé è
OKp =
åñòü äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïó-
ùåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ïðÿìóþ.
Ïóñòü
()
yxM,
ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà,
ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé
l
, òîãäà
OK
åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà
OM
íà íîðìàëüíûé âåêòîð
n
r
. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð
n
r
íîðìèðîâàí,
ò.å.
1=n
r
, íà îñíîâàíèè (4.40) çàïèøåì
( )
()
α+α==⋅== sincos,
,
ÏÐ yxnOMn
n
nOM
OMOK
n
rr
r
r
r
2
. (5.61)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî
jyixOM
rr
+=
, à
jin
rr
r
⋅α+⋅α= sincos
.
Ñðàâíèâàÿ (5.61) ñ (5.57) ïîëó÷èì
pyxOK =α+α= sincos
. (5.62)
Èòàê,
p
åñòü ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé.
Ðèñ. 5.11.
M
K
n
r
l
y
x
Î
                                                                              137

                                   1
                     λ=±       .                    (5.60)
                      A2 + B 2
äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì òàê âûáèðàòü çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì,
÷òîáû ïðîèçâåäåíèå λC áûëî îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, ò.å.
áóäåì áðàòü çíàê (+ ) åñëè C < 0 è (− ) åñëè C > 0 .
    Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû p â íîðìàëüíîì
                       óðàâíåíèè ïðÿìîé (5.57).  ýòîì ñëó÷àå
 y                                                r
                       íîðìàëüíûé âåêòîð åñòü n (cos α, sin α ). Ïå-
                       ðåíåñ¸ì ýòîò âåêòîð â íà÷àëî êîîðäèíàò
     M                 (ðèñ. 5.11), òîãäà, ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèé
                                                                  r
     r K               îòíîñèòåëüíî âûáîðà çíàêà ó p âåêòîð n
     n
                       áóäåò îáðàù¸í â ñòîðîíó ïðÿìîé è
                 l
Î                      x        p = OK åñòü äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïó-
    Ðèñ. 5.11.              ùåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ïðÿìóþ.
                                   Ïóñòü M (x, y ) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà,

ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé l , òîãäà OK åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà OM
                        r                     r
íà íîðìàëüíûé âåêòîð n . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð n íîðìèðîâàí,
     r
ò.å. n = 1 , íà îñíîâàíèè (4.40) çàïèøåì

OK = ÏÐ nr OM =
                     (OMr , nr )⋅ nr = (OM, nr )= x cos α + y sin α
                            2                                         .   (5.61)
                        n
     Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî
                      r r       r          r           r
              OM = xi + yj , à n = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j .
     Ñðàâíèâàÿ (5.61) ñ (5.57) ïîëó÷èì
                     OK = x cos α + y sin α = p .                         (5.62)
     Èòàê, p åñòü ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé.

Страницы