Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

155
íèè (5.108) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ðàññòîÿíèåì îò íà÷àëà êîîð-
äèíàò äî ïëîñêîñòè.
Çàäà÷à 21. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåí-
íîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðå-
çóëüòàòàìè çàäà÷è 7 ï.3.
Ïóñòü ïëîñêîñòü çàäàíà
íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì
(5.108).
Èç ðèñ. 5.20 ñëåäóåò, ÷òî
ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåê-
òîðà
R
r
òî÷êè
()
ZYXM,,
íà
íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé
âåêòîð
n
r
åñòü
()
hpZYXn
n
nR
R
n
+=γ+β+α=⋅= coscoscos
,
Ïð
r
r
r
r
r
r
2
,
îòêóäà
pzYXh −γ+β+α= coscoscos
èëè
()
pRnh −=
r
r
,
(5.111)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷-
êè
()
ZYXM,,
äî ïëîñêîñòè íàäî â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
(5.108) ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åí-
íîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå.
Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà â îáùåì âèäå, òîãäà
222
CBA
DCZBYAX
h
++
+++
=
. (5.112)
Çàäà÷à 22. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè
Ðàññìîòðèì äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ (íå ïàðàëëåëüíûå è íå
èìåþùèå îáùèõ òî÷åê) ïðÿìûå
1
l
è
2
l
. Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî,
R
r
N
K
h
p
M
n
r
O
z
y
x
Ðèñ. 5.20.
                                                                               155
íèè (5.108) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ðàññòîÿíèåì îò íà÷àëà êîîð-
äèíàò äî ïëîñêîñòè.

Çàäà÷à 21. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè

                                 N                 Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåí-
                                              íîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðå-
                          h                 M
                                              çóëüòàòàìè çàäà÷è 7 ï.3.
                                          r        Ïóñòü ïëîñêîñòü çàäàíà
                p     K                   R   íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì
                                              (5.108).
        r                                          Èç ðèñ. 5.20 ñëåäóåò, ÷òî
z       n
                                              ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåê-
                                                             r
O
                                                      òîðà R òî÷êè M (X ,Y , Z ) íà
            y
                    Ðèñ. 5.20.                        íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé
    x
                                                      âåêòîð nr åñòü
                     r r
                 r        ( )
                     R, n r
            Ïðnr R = r 2 ⋅ n = X cos α + Y cos β + Z cos γ = p + h ,
                     n
îòêóäà
                                                    r r
        h = X cos α + Y cos β + z cos γ − p èëè h = n, R − p     ( )       (5.111)
     Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷-
êè M (X ,Y , Z ) äî ïëîñêîñòè íàäî â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
(5.108) ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åí-
íîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå.
     Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà â îáùåì âèäå, òîãäà
                               AX + BY + CZ + D
                          h=                             .                 (5.112)
                                     A2 + B 2 + C 2

Çàäà÷à 22. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè
    Ðàññìîòðèì äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ (íå ïàðàëëåëüíûå è íå
èìåþùèå îáùèõ òî÷åê) ïðÿìûå l1 è l2 . Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî,

Страницы