Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 156 стр.

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156
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò
äâå ïëîñêîñòè
1
π è
2
π , òàêèå,
÷òî:
11
πl ,
22
πl è
1
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ëåëüíà
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π .
Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ
1
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l
åñòü:
tarr
11
rrr
=
è
tarr
22
rrr
=
,
òîãäà äëÿ ïëîñêîñòè
1
π ïîëîæèì
(ðèñ. 5.21) íà÷àëüíóþ òî÷êó
1
r
r
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íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû
1
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,
à äëÿ ïëîñêîñòè
2
π â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè âîçüì¸ì
2
r
r
è íà-
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû
1
a
r
è
2
a
r
.
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìû-
ìè åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè
1
π è
2
π .
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 5.21 îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîñòðîåí-
íîãî íà âåêòîðàõ
12
rr
rr
,
1
a
r
è
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a
r
åñòü
()
2112
aarrV
rrrr
,,
=
,
à ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ åñòü
[]
21
aaS
rr
,
=
.
Òîãäà âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà è ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùè-
âàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü
()
[]
21
2112
aa
aarr
S
V
h
rr
rrrr
,
,,
==
. (5.113)
Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè
è
0=h
, òîãäà
()
0
2112
=
aarr
rrrr
,,
è
[]
0
21
aa
rr
,
.
Ðèñ. 5.21.
2
l
1
l
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1
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O
z
y
x
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M
1
M
156
                                   r                         ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò
                                   a2
                                                             äâå ïëîñêîñòè π1 è π 2 , òàêèå,
                     M2
                                                             ÷òî:
          l2              h                                       l1 ∈ π1 , l 2 ∈ π 2 è π1 ïàðàë-
           r                                                 ëåëüíà π 2 .
           r2
                     M1       r
                              a1                l1                        Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ l1
                r
                r1
                                                             è l2 åñòü:
z                                                                         r r r          r r r
                                                                          r − r1 = a1t è r − r2 = a2t ,

          y                                                  òîãäà äëÿ ïëîñêîñòè π1 ïîëîæèì
O                         Ðèñ. 5.21.                                                                      r
                                                             (ðèñ. 5.21) íà÷àëüíóþ òî÷êó r1 è
      x
                                                                                                    r     r
                                                             íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 ,
                                                                                                    r
à äëÿ ïëîñêîñòè π 2 â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè âîçüì¸ì r2 è íà-
                                        r            r
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 .
     Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìû-
ìè åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè π1 è π 2 .
     Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 5.21 îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîñòðîåí-
                 r r r          r
íîãî íà âåêòîðàõ r2 − r1 , a1 è a2 åñòü
                                                 r r r r
                                            V = (r2 − r1, a1, a2 ) ,
à ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ åñòü
                                                          r r
                                                     S = [a1, a2 ] .
   Òîãäà âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà è ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùè-
âàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü
                                   V             (rr2 − rr1, ar1, ar2 )
                              h=            =
                                    S                 [ar1, ar2 ]         .                        (5.113)

     Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè
è h = 0 , òîãäà
                               (rr2 − rr1, ar1, ar2 ) = 0             r r
                                                                è [a1, a2 ] ≠ 0 .