Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 154 стр.

154

                     (M M, nr )= 0 ,
                        0                                    (5.104)
ãäå M0 (x0 , y0 , z0 ) - íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, ÿâëÿåòñÿ óðàâ-
íåíèåì ïëîñêîñòè, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü è òàê
               A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 .   (5.105)
                 r
    Î âåêòîðå n (A, B,C ) áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îí îðòîãîíàëåí äàí-
íîé ïëîñêîñòè.
                  r
    Åñëè âåêòîð n (A, B,C ) íîðìèðîâàí, òîãäà
                               A2 + B 2 + C 2 = 1
è åñëè ïðè ýòîì D ≤ 0 , òî óðàâíåíèå (5.104) åñòü íîðìàëüíîå óðàâ-
íåíèå ïëîñêîñòè.
            r
      Åñëè n = 1 , òî
                     r           r           r           r
                     n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k , (5.106)
ãäå α, β, γ - óãëû, îáðàçîâàííûå âåêòîðîì nr ñ îñÿìè êîîðäèíàò.
      Ïîäñòàâëÿÿ (5.106) â (5.105) ïîëó÷èì
                     x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 ,   (5.107)
ãäå − p = D .
     Â âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò
âèä
                (nr, rr ) − p = 0 èëè (nr, rr ) = p . (5.108)
     Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì
                 Ax + By + cz + D = 0 ,               (5.109)
òî äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê âèäó (5.107) íàäî íîðìèðîâàòü âåêòîð nr ,
ò.å. íàäî óðàâíåíèå (5.109) óìíîæèòü íà íîðìèðóþùèé ìíîæè-
òåëü
                                   1
                     µ=±                     .               (5.110)
                             A + B2 + C 2
                               2

     Äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì âûáèðàòü çíàê (+) åñëè D < 0 è
çíàê (-) åñëè D < 0 .
     Ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 6 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî p â óðàâíå-