Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

153
íûì âåêòîðîì
n
r
, áóäåì íàçû-
âàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.19)
M
òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé
òî÷êè
π∈
0
M
âåêòîð
MM
0
ñî-
ñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì
n
r
óãîë, íå
ïðåâûøàþùèé
2
π
.
Åñëè
r
r
- ðàäèóñ-âåêòîð òî÷-
êè
M
, à
0
r
r
- ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè
π∈
0
M
, òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíî íå-
ðàâåíñòâó
()
0
0
≥−
nrr
rrr
,
(5.101)
èëè
0≥+++ DCzByAx
. (5.102)
Îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíå-
íèÿ ïîëîæèòåëüíîãîïîëóïðîñòðàíñòâà.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü è å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð
n
r
−
çàäà-
þò äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ óðàâíåíèåì
()
0
0
≤−
nrr
rrr
,
èëè
0≤+++ DCzByAx
. (5.103)
Ýòî ïîëóïðîñòðàíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü îòðèöàòåëüíûì
ïîëóïðîñòðàíñòâîì, èìåÿ â âèäó óñëîâíîñòü òàêîãî ðàçáèåíèÿ.
Âûáîð êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âûäåëÿåò îäíî ïîëî-
æèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî. Êàê è â çàäà÷å 5 íîðìàëüíûé âåê-
òîð ïëîñêîñòè
n
r
íàïðàâëåí â ïîëîæèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàí-
ñòâî è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè
p
r
è
q
r
ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.
Çàäà÷à 20. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âåê-
òîðà
()
CBAn,,
r
ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê
()
zyxM,,
, äëÿ êîòîðûõ
Ðèñ. 5.19.
()
0
0
<−
nrr
rrr
,
n
r
−
()
0
0
>−
nrr
rrr
,
n
r
(
)
0
0
=
−
n
r
r
r
r
r
M
ϕ
π
q
r
p
r
0
M
                                                                                   153
íûì âåêòîðîì nr , áóäåì íàçû-
âàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.19)             r
                                 r r r       n                       M
M òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé (r − r0 , n ) > 0
òî÷êè M0 ∈ π âåêòîð M0M ñî-                    ϕ
ñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì nr óãîë, íå                                      r
                                                                               r )=
                                                                                      0
                                                         M0          q
                                                                            r ,n
                 π                                               r       r − r 0
ïðåâûøàþùèé
                 2
                   .                                             p       (r

      Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷-       (rr − rr0 , nr ) < 0r   π
         r                                                −n         Ðèñ. 5.19.
êè M , à r0 - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè
M0 ∈ π , òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíî íå-
ðàâåíñòâó
                  (rr − rr0 , nr ) ≥ 0                                       (5.101)
èëè
                   Ax + By + Cz + D ≥ 0 .                  (5.102)
     Îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíå-
íèÿ “ïîëîæèòåëüíîãî” ïîëóïðîñòðàíñòâà.
     Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü è å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð − nr çàäà-
þò äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ óðàâíåíèåì
           (rr − rr0 , nr ) ≤ 0 èëè Ax + By + Cz + D ≤ 0 . (5.103)
     Ýòî ïîëóïðîñòðàíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü “îòðèöàòåëüíûì”
ïîëóïðîñòðàíñòâîì, èìåÿ â âèäó óñëîâíîñòü òàêîãî ðàçáèåíèÿ.
Âûáîð êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âûäåëÿåò îäíî “ïîëî-
æèòåëüíîå” ïîëóïðîñòðàíñòâî. Êàê è â çàäà÷å 5 íîðìàëüíûé âåê-
òîð ïëîñêîñòè nr íàïðàâëåí ⠓ïîëîæèòåëüíîå” ïîëóïðîñòðàí-
                                                                               r          r
ñòâî è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè p è q
ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.

Çàäà÷à 20. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè

    Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âåê-
     r
òîðà n (A, B,C ) ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M (x, y, z ) , äëÿ êîòîðûõ

Страницы