Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 158 стр.

158

6. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà

6.1. Ïàðàáîëà

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïà-
ðàáîëîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò
O, x, y , â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä

                  y 2 = 2 px , p > 0 .                   (6.1)
    Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.1 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò O, x, y , êîîðäèíàòû x, y è ñàìî óðàâíåíèå (6.1) íàçû-
âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
    Ïðè x < 0 òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ (6.1) íå ñóùåñòâóåò. Ýòî
ãîâîðèò î òîì, ÷òî âñÿ ïàðàáîëà ëåæèò â ïîëóïëîñêîñòè x ≥ 0 .
      Îñü îðäèíàò Oy (x = 0) ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò òîëüêî â îäíîé
òî÷êå O(0,0 ) , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïàðàáîëû.
      Îñü àáñöèññ Ox (y = 0) ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáîëû,
ò.ê. èçìåíåíèå çíàêà ó y íå ìåíÿåò óðàâíåíèÿ (6.1). Íà ýòîì îñíî-
âàíèè îñü àáñöèññ Ox áóäåì íàçûâàòü îñüþ ïàðàáîëû (ôîêàëüíîé
îñüþ). Ôîêàëüíàÿ îñü ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé îñüþ ñèììåòðèè. Çà-
ìåòèì, ÷òî ïàðàáîëà íå èìååò öåíòðà ñèììåòðèè.
      Èòàê, îñü è âåðøèíà ïàðàáîëû îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ
÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè, áåç îáðàùåíèÿ ê êàêèì-ëèáî êîîðäèíàòàì:
      îñü åñòü îñü ñèììåòðèè;
      âåðøèíà - îáùàÿ òî÷êà îñè è ïàðàáîëû.
      Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îñè êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîð-
äèíàò îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ïàðàáîëîé: îñü àáñöèññ - êàê
îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à îñü îðäèíàò - êàê ïðÿìàÿ ïðîõîäÿ-
ùàÿ ÷åðåç âåðøèíó ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñèììåòðèè.
Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îñè àáñöèññ òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ
ïàðàáîëîé - êàê ïîëóïðîñòðàíñòâî â êîòîðîì ðàñïîëîæåíà ïà-
ðàáîëà (ðèñ. 6.1).
      Ìû ìîæåì ñêàçàòü: êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿþòñÿ ñàìîé ïàðàáîëîé.