Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

160
èëè
pxy 2
2
=
. (6.1)
Ýòî ñâîéñòâî ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ äèðåêòîðèàëüíûì ñâîé-
ñòâîì ïàðàáîëû è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êàê îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû.
6.1.2. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå
Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê
êðèâîé
()
xfy
=
â òî÷êå
()
000
yxM,
èìååò óðàâíåíèå
()( )
000
xxxfyy
−
′
=−
. (6.2)
Ýòî îáùåå óòâåðæäåíèå ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê ÷àñòè ïàðàáî-
ëû â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå
0>y
, çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì
pxy 2=
.
Òàê êàê
0
0
2
0
y
p
px
p
y
M
==
′
òî, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå (6.1) â å¸ òî÷êå
()
000
yxM,
,
0>y
çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì:
()
0
0
0
xx
y
p
yy
−=−
.
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå:
0
2
00
pxpxyyy
−=−
,
ãäå
0
2
0
2
pxy
=
, òîãäà
()
00
xxpyy
+=
. (6.3)
íåòðóäíî ïîëó÷èòü (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìî-
ñòîÿòåëüíî) ýòî æå óðàâíåíèå (6.3) è äëÿ
0≤y
. Ïðè
0
0
=y êàñà-
òåëüíàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ îðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ñêà-
çàòü: (6.3) åñòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå (6.1) â ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êå
()
000
yxM,
ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå.
160
èëè
                    y 2 = 2 px .                        (6.1)
    Ýòî ñâîéñòâî ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ äèðåêòîðèàëüíûì ñâîé-
ñòâîì ïàðàáîëû è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êàê îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû.

6.1.2. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå

    Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê
êðèâîé y = f (x ) â òî÷êå M0 (x0 , y0 ) èìååò óðàâíåíèå
                    y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) .          (6.2)
     Ýòî îáùåå óòâåðæäåíèå ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê ÷àñòè ïàðàáî-
ëû â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå y > 0 , çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì
                                   y = 2 px .
      Òàê êàê
                                          p          p
                              ′ 0 =
                             yM                 =
                                        2 px0       y0
òî, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå (6.1) â å¸ òî÷êå
M0 (x0 , y0 ) , y > 0 çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì:

                                          p
                             y − y0 =       (x − x0 ) .
                                         y0
      Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå:
                            yy0 − y02 = px − px0 ,
ãäå y02 = 2 px0 , òîãäà
                    yy0 = p(x + x0 ) .                      (6.3)
íåòðóäíî ïîëó÷èòü (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìî-
ñòîÿòåëüíî) ýòî æå óðàâíåíèå (6.3) è äëÿ y ≤ 0 . Ïðè y0 = 0 êàñà-
òåëüíàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ îðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ñêà-
çàòü: (6.3) åñòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå (6.1) â ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êå M0 (x0 , y0 ) ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå.

Страницы