Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

161
6.1.3. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû
Çàìåòèì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ
0=y
â òî÷-
êå
()
0
0
,xA
−
. Ïîëàãàÿ â (6.3)
0=y
ñðàçó ïîëó÷àåì
0
xx −=
.
Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà
()
0
0
,xA
−
íàõîäèòñÿ (ñì. ðèñ. 6.3) íà òîì
æå ðàññòîÿíèè
2
0
p
x +
îò ôîêóñà
0
2
,
p
F
ïàðàáîëû, ÷òî è òî÷êà
êàñàíèÿ
()
000
yxM,
, â ñèëó ÷åãî
AFMFAM
00
∠=∠ .
Èç ðèñ. 6.3 ñðàçó âèäíî, ÷òî
2
0
p
xAF +=
,
2
2
22
00
2
0
2
0
2
00
p
xpx
p
xy
p
xFM
+=+
−=+
−=
.
Ê ýòîìó ðåçóëüòàòó ìîæíî ïðèäòè è èíà÷å. Ïåðåïèøåì óðàâ-
íåíèå êàñàòåëüíîé (6.3) òàê:
p
y
y
xx
=
+
0
0
,
ãäå
()
pya,
0
r
- íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé.
Ðèñ. 6.3.
()
000
yxM,
a
r
r
r
ϕ
ϕ
ψ
()
0,xA
−
0
2
,
p
F
O
y
x
11 À.À. Êèðñàíîâ
                                                                  161
6.1.3. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû

     Çàìåòèì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ y = 0 â òî÷-
êå A(− x0 ,0) . Ïîëàãàÿ â (6.3) y = 0 ñðàçó ïîëó÷àåì x = − x0 .
     Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà A(− x0 ,0) íàõîäèòñÿ (ñì. ðèñ. 6.3) íà òîì

                        p             p 
æå ðàññòîÿíèè x0 +        îò ôîêóñà F  2 ,0  ïàðàáîëû, ÷òî è òî÷êà
                        2                   
êàñàíèÿ M0 (x0 , y0 ) , â ñèëó ÷åãî ∠AM0 F = ∠M0 AF .
                                                         r
                                                         a
                        y
                                            ϕ

                                         M0 (x0 , y0 )
                                 ϕ
                                     r
                                     r
                    ψ
              A(− x,0) O          p                        x
                                F  ,0 
                                  2 
                                             Ðèñ. 6.3.

     Èç ðèñ. 6.3 ñðàçó âèäíî, ÷òî
                                                 p
                                 AF = x0 +         ,
                                                 2
                            2                     2
                   p              p               p
        FM0 =  x0 −  + y02 =  x0 −  + 2 px0 = x0 + .
                   2              2               2
    Ê ýòîìó ðåçóëüòàòó ìîæíî ïðèäòè è èíà÷å. Ïåðåïèøåì óðàâ-
íåíèå êàñàòåëüíîé (6.3) òàê:
                                     x + x0 y
                                           = ,
                                       y0   p
    r
ãäå a (y0 , p ) - íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé.

11 À.À. Êèðñàíîâ

Страницы