Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

163
(ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí), òî îòðàæàÿñü îò ïàðàáîëû (ðèñ. 6.4) ëó÷è
óéäóò ïàðàëëåëüíî ôîêàëüíîé îñè. Íà ýòîì ñâîéñòâå ïàðàáîëû îñ-
íîâàíî, íàïðèìåð, äåéñòâèå ïðîæåêòîðîâ è ñïóòíèêîâûõ àíòåíí.
6.2 Ýëëèïñ
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ýë-
ëèïñîì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, â
êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
,
0>≥ ba
. (6.5)
Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.5 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò
yxO ,,
, êîîðäèíàòû
yx,
è ñàìî óðàâíåíèå (6.5) íàçû-
âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
Ïðè
ab =
(6.5) ïðèìåò âèä
222
ayx =+
, (6.6)
ÿâëÿþùèéñÿ óðàâíåíèåì îê-
ðóæíîñòè ðàäèóñà
aR =
ñ öåí-
òðîì â òî÷êå
()
00,O
. Òàêèì îá-
ðàçîì îêðóæíîñòü, åñòü ÷àñò-
íûé ñëó÷àé ýëëèïñà.
Ïðè
ab <
ñðàâíèì (ñì.
ðèñ. 6.5) ýëëèïñ (6.5) ñ îêðóæ-
íîñòüþ (6.6).
Ïîëîæèì
k
a
b
=
. Åñëè òî÷êà
()
yxM,
ïðèíàäëåæèò îêðóæíî-
ñòè, òî òî÷êà
()
kyxM ,
′
ïðèíàäëåæèò ýëëèïñó, òàê êàê
()
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=+=+
a
y
a
x
b
ky
a
x
è íàîáîðîò.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëëèïñ (6.5) ïîëó÷àåòñÿ èç îêðóæíîñòè (6.6)
Ðèñ. 6.5.
c−
c
b−
b
a−
a
()
kyxM ,
′
()
yxM,
O
y
x
11*
                                                                                        163
(ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí), òî îòðàæàÿñü îò ïàðàáîëû (ðèñ. 6.4) ëó÷è
óéäóò ïàðàëëåëüíî ôîêàëüíîé îñè. Íà ýòîì ñâîéñòâå ïàðàáîëû îñ-
íîâàíî, íàïðèìåð, äåéñòâèå ïðîæåêòîðîâ è ñïóòíèêîâûõ àíòåíí.


6.2 Ýëëèïñ

Îïðåäåëåíèå 6.2. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ýë-
ëèïñîì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, â
êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä:
                   x2          y2
                           +        =1, a ≥ b > 0.                                  (6.5)
                   a   2
                               b2
    Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.5 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò O, x, y , êîîðäèíàòû x, y è ñàìî óðàâíåíèå (6.5) íàçû-
                                  âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
           y        M (x, y )          Ïðè b = a (6.5) ïðèìåò âèä
                                    M ′(x, ky )                    x2 + y2 = a2 ,
                                                                           (6.6)
             b
                                                      ÿâëÿþùèéñÿ óðàâíåíèåì îê-
                                             x        ðóæíîñòè ðàäèóñà R = a ñ öåí-
−a    −c     O                 c        a             òðîì â òî÷êå O(0,0 ) . Òàêèì îá-
                                                      ðàçîì îêðóæíîñòü, åñòü ÷àñò-
            −b                                        íûé ñëó÷àé ýëëèïñà.
                                                           Ïðè b < a ñðàâíèì (ñì.
                               Ðèñ. 6.5.              ðèñ. 6.5) ýëëèïñ (6.5) ñ îêðóæ-
                                                      íîñòüþ (6.6).
                 b
      Ïîëîæèì      = k . Åñëè òî÷êà M (x, y ) ïðèíàäëåæèò îêðóæíî-
                 a
ñòè, òî òî÷êà M ′(x, ky ) ïðèíàäëåæèò ýëëèïñó, òàê êàê

                               x2
                                    +
                                        (ky )2   =
                                                     x2
                                                          +
                                                              y2
                                                                   =1
                               a2           b2       a2       a2
è íàîáîðîò.
    Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëëèïñ (6.5) ïîëó÷àåòñÿ èç îêðóæíîñòè (6.6)
11*

Страницы