Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

165
9) òî÷êà
()
00,O
- öåíòð ýëëèïñà;
10) òî÷êè
()
0 ,a
±
,
()
b
±
,0
- âåðøèíû ýëëèïñà;
11) òî÷êè
()
0 ,c
±
- ôîêóñû ýëëèïñà;
12) ïðÿìàÿ
e
a
x ±=
- äèðåêòðèñû ýëëèïñà,
0≠e
.
 ÷àñòíîñòè äëÿ îêðóæíîñòè (6.6):
ab =
,
0=c
,
0=e
,
ap =
.
6.2.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà
Ïóñòü
1
r
r
è
2
r
r
- ëåâûé è ïðàâûé ôîêàëüíûå ðàäèóñû (ðèñ. 6.7)
íåêîòîðîé òî÷êè
()
yxM,
ïðèíàäëåæàùåé ýëëèïñó (6.5). Òîãäà, êàê
ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 6.7
() ()
=−+++=
−++=++=
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
1
21
x
a
b
bcxcx
a
x
bcxycxr
==+=
−=+++
−=
222
2
2
2
2
222
2
2
121
abc
a
c
a
b
bcxcx
a
b
,
()
2
22222
2
2
22
aexaeaxxeeacacxx
a
c
+=++===++=
.
Òàê êàê
ax ≤
, òî
aex <
, òîãäà
exar +=
1
. (6.7)
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî,
ïîëó÷èì
exar −=
2
. (6.8)
Ñëîæèì ëåâûå è ïðàâûå
÷àñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíå-
íèé
arr 2
21
=+ . (6.9)
Ðèñ. 6.7.
c− c
2
r
r
1
r
r
()
yxM,
O
y
x
                                                                                       165

    9) òî÷êà O(0,0) - öåíòð ýëëèïñà;
    10) òî÷êè (± a, 0 ) , (0, ± b ) - âåðøèíû ýëëèïñà;
    11) òî÷êè (± c, 0) - ôîêóñû ýëëèïñà;
                                   a
    12) ïðÿìàÿ x = ±                 - äèðåêòðèñû ýëëèïñà, e ≠ 0 .
                                   e
     ÷àñòíîñòè äëÿ îêðóæíîñòè (6.6):
                   b = a, c = 0, e = 0 , p = a.

6.2.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà

                      r        r
    Ïóñòü r1 è r2 - ëåâûé è ïðàâûé ôîêàëüíûå ðàäèóñû (ðèñ. 6.7)
íåêîòîðîé òî÷êè M (x, y ) ïðèíàäëåæàùåé ýëëèïñó (6.5). Òîãäà, êàê
ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 6.7
                                          x2                             b2
  r12 = (x + c ) + y 2 = (x + c ) + b 2 1 − 2  = x 2 + 2xc + c 2 + b 2 − 2 x 2 =
                2                2

                                            a                           a

          b2                             b2  c2
       = 1 − 2  x 2 + 2xc + c 2 + b 2 = 1 − 2  = 2 , c 2 + b 2 = a 2 =
          a                              a  a
                                              

              c2
          =            x 2 + 2cx + a 2 = c = ea = e 2 x 2 + 2eax + a 2 = (ex + a ) .
                                                                                 2
              a   2


    Òàê êàê x ≤ a , òî ex < a , òîãäà
                                                             r1 = a + ex .(6.7)
                           y
                                                          Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî,
                                    M (x, y )        ïîëó÷èì
                      r
                      r1           r                     r2 = a − ex .    (6.8)
                                   r2
                                                          Ñëîæèì ëåâûå è ïðàâûå
     −c                   O             c          x
                                                     ÷àñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíå-
                                                     íèé
                                                         r1 + r2 = 2a .   (6.9)
               Ðèñ. 6.7.

Страницы