Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

166
Îáðàòíî, ïóñòü
()
yxM,
- òàêàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè, ÷òî ñóììà
å¸ ðàññòîÿíèé
21
rr +
îò ôîêóñîâ ýëëèïñà ðàâíà
a2
:
() ()
aycxycxrr 2
2
2
2
2
21
=+−+++=+
.
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïñà (6.5).
Òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî-
÷åê, ñóììà ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà
a2
.
Ýòî òàê íàçûâàåìîå ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ÷àñòî èñ-
ïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñà.
6.2.2. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà
Ðàññòîÿíèå òî÷êè ýëëèïñà
()
yxM,
äî ëåâîé (ðèñ. 6.8) äèðåê-
òðèñû
e
a
x −=
ðàâíî
e
r
e
aex
e
a
x
1
=
+
=+
,
à äî ïðàâîé
e
r
e
exa
x
e
a
2
=
−
=−
è
e
x
e
a
r
e
a
x
r
=
−
=
+
21
. (6.10)
òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ (6.5) åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,
îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñà äî îäíîèì¸ííîé äèðåê-
òðèñû ðàâíî
e
- ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó.
Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.10).
Ðèñ. 6.8.
c−
c
2
r
r
1
r
r
()
yxM,
O
y
x
e
a
x=
e
a
x−=
2
d
1
d
Q
P
166

      Îáðàòíî, ïóñòü M (x, y ) - òàêàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè, ÷òî ñóììà
å¸ ðàññòîÿíèé r1 + r2 îò ôîêóñîâ ýëëèïñà ðàâíà 2a :

               r1 + r2 =    (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2   = 2a .
      Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïñà (6.5).
      Òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî-
÷åê, ñóììà ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà 2a .
      Ýòî òàê íàçûâàåìîå ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ÷àñòî èñ-
ïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñà.


6.2.2. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà

      Ðàññòîÿíèå òî÷êè ýëëèïñà M (x, y ) äî ëåâîé (ðèñ. 6.8) äèðåê-
              a                                          y
òðèñû x = −     ðàâíî
              e
                                               d1                      M (x, y )
                                      P             r                              Q
        a  ex + a   r                                                  r     d2
      x+ =        = 1,                              r1
        e    e      e                                                  r2
                                               −c        O                c            x
à äî ïðàâîé
      a      a − ex   r
        −x =        = 2
      e         e     e
                                           a                                       a
è                                    x=−             Ðèñ. 6.8.                x=
                                           e                                       e

                       r1           r2
                              =         =e
                        a         a        .                                  (6.10)
                     x+              −x
                        e         e
òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ (6.5) åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,
îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñà äî îäíîèì¸ííîé äèðåê-
òðèñû ðàâíî e - ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó.
    Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.10).

Страницы