Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

168
6.2.3. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó
Âåðõíÿÿ ïîëîâèíà ýëëèïñà
()
0
>
y
åñòü ãðàôèê ôóíêöèè
22
xa
a
b
y −=
.
Òîãäà
y
x
a
b
ya
b
xaxa
x
a
b
y ⋅−=⋅=
−
=
−
⋅−=
′
2
2
2222
11
.
Äëÿ
0<y
22
xa
a
b
y −−=
,
y
x
a
b
ya
b
xaxa
x
a
b
y ⋅−=⋅−=
−
=
−
⋅=
′
2
2
2222
11
.
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó â ëþáîé åãî òî÷êå
()
000
yxM,
, (êðîìå òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè
()
0 ,a
±
) çàäà¸òñÿ óðàâíå-
íèåì
()
0
0
2
0
2
0
xx
ya
xb
yy
−−=−
. (6.12)
Óìíîæèì (6.12) íà
2
0
b
y
, òîãäà
() ()
2
0
0
0
2
0
2
2
0
0
b
y
xx
ya
xb
b
y
yy
⋅−−=−
èëè
2
2
00
2
2
00
a
xxx
b
yyy
−
−=
−
èëè
168
6.2.3. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó

      Âåðõíÿÿ ïîëîâèíà ýëëèïñà (y > 0) åñòü ãðàôèê ôóíêöèè
                                          b
                                   y=       a2 − x2 .
                                          a
      Òîãäà

                       b   x                      1            b 1  b2 x
              y′ = −     ⋅       =                         =    ⋅ =− 2 ⋅ .
                       a a2 − x2              a2 − x 2         a y  a y

      Äëÿ y < 0
                                           b 2
                                  y=−        a − x2 ,
                                           a

                     b     x                  1                b 1  b2 x
              y′ =     ⋅      =                          =−     ⋅ =− 2 ⋅ .
                     a a − x2
                         2
                                           a2 − x2             a y  a y
     Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó â ëþáîé åãî òî÷êå
M0 (x0 , y0 ) , (êðîìå òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè (± a, 0) ) çàäà¸òñÿ óðàâíå-
íèåì
                                    b 2 x0
                       y − y0 = −            (x − x0 ) .                     (6.12)
                                    a 2 y0

                                  y0
      Óìíîæèì (6.12) íà                  , òîãäà
                                  b2

                         (y − y0 ) y02   =−
                                              b 2 x0
                                                        (x − x0 )⋅ y02
                                   b          a y02
                                                                   b
èëè
                               yy0 − y02              xx0 − x02
                                              =−
                                   b2                    a2
èëè

Страницы