Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

169
1
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
=+=+
b
y
a
x
b
yy
a
xx
,
òàê êàê
1
2
2
0
2
2
0
=+
b
y
a
x
.
Èòàê, óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó â òî÷êå
()
000
yxM,
åñòü
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a
xx
. (6.13)
Òàê êàê â âåðøèíàõ
()
0 ,a
±
êàñàòåëüíàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé
ax ±=
,
òî óðàâíåíèå (6.13) ãîäèòñÿ è äëÿ íèõ. Ìû ìîæåì, òàêèì îáðà-
çîì, îêîí÷àòåëüíî ñêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (6.13) åñòü óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó (6.5) â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå
()
000
yxM,
.
6.2.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.13) òàê
01
2
0
2
0
=−+
b
yy
a
xx
. (6.14)
Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
2
0
a
x
A =
,
2
0
b
y
B =
,
1−=C
.
Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ
(ðèñ. 6.9) îò ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ôîêóñîâ
()
0
1
,cF
−
è
()
0
2
,cF
äî êàñàòåëüíîé
(6.14).
Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
äî ïðÿìîé îïðåäåëÿåòñÿ ñ
ïîìîùüþ (5.68)
Ðèñ. 6.9.
ϕ
ψ
2
d
1
d
c− c
2
r
r
1
r
r
()
000
yxM,
O
y
x
                                                                                               169

                              xx0       yy0          x02       y02
                                    +           =          +         = 1,
                              a2         b2          a2        b2
òàê êàê
                                        x02         y02
                                                +         =1.
                                        a   2
                                                    b2
       Èòàê, óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó â òî÷êå M0 (x0 , y0 )
åñòü
                          xx0 yy0
                             + 2 =1.                                                      (6.13)
                          a2  b
     Òàê êàê â âåðøèíàõ (± a, 0 ) êàñàòåëüíàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé
                             x = ±a ,
òî óðàâíåíèå (6.13) ãîäèòñÿ è äëÿ íèõ. Ìû ìîæåì, òàêèì îáðà-
çîì, îêîí÷àòåëüíî ñêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (6.13) åñòü óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó (6.5) â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M0 (x0 , y0 ) .

6.2.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà

       Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.13) òàê
                          xx0 yy0
                             + 2 −1 = 0 .                                                 (6.14)
                          a2  b
       Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
                                                                            x0      y0
                                                                     A=        , B = 2 , C = −1 .
                  y                                                         a2      b
                                                                     Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ
        d1                                                      (ðèñ. 6.9) îò ñîîòâåòñòâóþ-
                             M0 (x0 , y0 )
             r
             r1
                      ψ                                         ùèõ ôîêóñîâ F1 (− c,0 ) è
                            r ϕ
                            r2      d2                       F2 (c,0) äî êàñàòåëüíîé
   −c             O            c                           x (6.14).
                                                                    Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
                                                                äî ïðÿìîé îïðåäåëÿåòñÿ ñ
                                                                ïîìîùüþ (5.68)
             Ðèñ. 6.9.

Страницы