Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 171 стр.

                                                             171
6.3. Ãèïåðáîëà

Îïðåäåëåíèå 6.3. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ
ãèïåðáîëîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò
O, x, y , â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä

                 x2       y2
                      −        = 1, a > 0 , b > 0 .      (6.18)
                 a2       b2
    Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.3 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò O, x, y , êîîðäèíàòû x, y è ñàìî óðàâíåíèå (6.18) íàçû-
âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
    Ïðè b = a ãèïåðáîëà íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé.
     Èç óðàâíåíèÿ (6.18) âèäíî, ÷òî x ≥ a . Ýòî ãîâîðèò î òîì,
÷òî ãèïåðáîëà ðàñïîëîæåíà âíå ïîëîñû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìû-
ìè x = ± a .
     Òàê êàê â óðàâíåíèå ãèïåðáîëû (6.18) âõîäÿò òîëüêî ÷¸òíûå
                             ñòåïåíè êîîðäèíàò, òî êîîðäèíàò-
     b                b      íûå îñè áóäóò îñÿìè ñèììåòðèè ãè-
y=− x               y= x
     a        y       a      ïåðáîëû, à òî÷êà O(0,0 ) áóäåò å¸
                b            öåíòðîì ñèììåòðèè. Íèêàêèõ äðó-
                             ãèõ îñåé ñèììåòðèè ó ãèïåðáîëû
                             íåò.
  F1                    F2        Îñè ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ êî-
 −c     − a  O      a   c    îðäèíàò  îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ
                             ãèïåðáîëîé, ò.å. ñ òî÷íîñòüþ äî çíà-
                             êîâ, êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû
                −b           åäèíñòâåííû. Âñå îáúåêòû, îïðåäå-
             a      a        ëÿåìûå ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêèõ
      x=−        x=          êîîðäèíàò, íî íå ìåíÿþùèåñÿ ïðè
             e      e
          Ðèñ. 6.10.         èçìåíåíèè èõ çíàêîâ, èíâàðèàíòíî
                             ñâÿçàíû ñ ãèïåðáîëîé.
     Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.10) ãèïåðáîëû îòíîñÿòñÿ:
     1) ÷èñëî a - äåéñòâèòåëüíàÿ ïîëóîñü;
     2) ÷èñëî b - ìíèìàÿ ïîëóîñü;