Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

159
Ñëåäñòâèåì ýòîãî ôàêòà áóäåò òî, ÷òî
âñå îáúåêòû, îïðåäåëÿþùèåñÿ ñ ïîìîùüþ
êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò, íî íå çàâèñÿùèå
îò îðèåíòàöèè îñè îðäèíàò áóäóò èíâàðè-
àíòíî (ò.å. áåç êàêîãî-ëèáî ïðîèçâîëà) ñâÿ-
çàíû ñ ïàðàáîëîé.
Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.1) îòíîñÿòñÿ:
1) ÷èñëî
p
- ôîêàëüíûé ïàðàìåòð;
2) ÷èñëî
2
p
- ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå;
3) òî÷êà
0
2
,
p
F
- êîîðäèíàòû ôîêóñà;
4) ïðÿìàÿ
2
p
x −=
- äèðåêòðèñà ïàðàáîëû;
5) òî÷êà
()
00,O
- âåðøèíà ïàðàáîëû;
6) ïðÿìàÿ
0=y
- ôîêàëüíàÿ îñü ïàðàáîëû.
6.1.1. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê,
ðàâíîóäàë¸ííûõ îò ôîêóñà è äèðåêòðèñû (ðèñ. 6.2).
Ïóñòü
FMNM =
,
òîãäà
()
2
2
0
22
−+
−=+
y
p
x
p
x
.
Âîçâåäÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
â êâàäðàò ïîëó÷èì
2
22
22
y
p
x
p
x +
−=
+
Ðèñ. 6.1.
2
p
F
O
y
x
2
p
x −=
Ðèñ. 6.2.
0
2
,
p
F
− y
p
N ,
2
()
yxM,
2
p
−
O
y
x
                                                                                       159

  y                                      Ñëåäñòâèåì ýòîãî ôàêòà áóäåò òî, ÷òî
                                    âñå îáúåêòû, îïðåäåëÿþùèåñÿ ñ ïîìîùüþ
                                    êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò, íî íå çàâèñÿùèå
                                    îò îðèåíòàöèè îñè îðäèíàò áóäóò èíâàðè-
          F                         àíòíî (ò.å. áåç êàêîãî-ëèáî ïðîèçâîëà) ñâÿ-
  O       p
              2
                                  x çàíû ñ ïàðàáîëîé.
                                    Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.1) îòíîñÿòñÿ:
                                    1) ÷èñëî p - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð;
                                                    p
                                     2) ÷èñëî         - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå;
    p                                               2
x=−
    2             Ðèñ. 6.1.
                                                     p 
                                     3) òî÷êà F  2 ,0  - êîîðäèíàòû ôîêóñà;
                                                      

                                  p
      4) ïðÿìàÿ x = −               - äèðåêòðèñà ïàðàáîëû;
                                  2
      5) òî÷êà O(0,0 ) - âåðøèíà ïàðàáîëû;
      6) ïðÿìàÿ y = 0 - ôîêàëüíàÿ îñü ïàðàáîëû.

6.1.1. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû

    Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê,
ðàâíîóäàë¸ííûõ îò ôîêóñà è äèðåêòðèñû (ðèñ. 6.2).
    Ïóñòü
                                                                NM = FM ,
                   y
  p                                              òîãäà
N − , y                          M (x, y )
  2                                                                2
                                                                p
                                                          =  x −  + ( y − 0 )2
                                                        p
                                                   x+                              .
                                                        2       2
      −
          p       O      p                   x        Âîçâåäÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
                       F  ,0 
          2              2                       â êâàäðàò ïîëó÷èì
                                                                 2          2
                                                              p      p
                                                           x +  = x −  + y
                                                                               2
                                                              2      2 
                       Ðèñ. 6.2.

Страницы