Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

208
7.8. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà
Ïóñòü íàì äàíî óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)
0222
332313
2
2212
2
11
=+++++ ayaxayaxyaxa
. (7.3)
Õàðàêòåð ëèíèè (7.3) öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè âå-
ëè÷èíàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èíâàðèàíòàìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ:
22111
aaI +=
; (7.19)
2221
1211
2
aa
aa
I =
; (7.22)
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
I =
. (7.23)
Äîãîâîðèìñÿ, ÷òî ìû âñåãäà ìîæåì òàê çàïèñàòü óðàâíåíèå
(7.3), ÷òîáû
22111
aaI +=
áûëî áîëüøå íóëÿ.
Òîãäà:
1. Ëèíèÿ (7.3) ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïðÿìûå (äåéñòâèòåëüíûå
èëè ìíèìûå) åñëè
0
3
=I .
2. Íåðàâåíñòâî
0
2
>I õàðàêòåðèçóåò ýëëèïòè÷åñêèé òèï ëè-
íèè (7.3).
3. Íåðàâåíñòâî
0
2
<I õàðàêòåðèçóåò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï
ëèíèè (7.3).
4. Ðàâåíñòâî
0
2
=I õàðàêòåðèçóåò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï ëè-
íèè (7.3).
Ñâåä¸ì ïåðå÷èñëåííûå âûøå èíâàðèàíòû â òàáëèöó.
208
7.8. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà

      Ïóñòü íàì äàíî óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)
            a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 .
                                                     (7.3)
    Õàðàêòåð ëèíèè (7.3) öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè âå-
ëè÷èíàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èíâàðèàíòàìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ:
               I1 = a11 + a22 ;                      (7.19)
                           a11   a12
                    I2 =
                           a21   a22 ;                                  (7.22)

                           a11   a12     a13
                    I 3 = a21    a22     a23
                                               .                        (7.23)
                           a31   a32     a33
      Äîãîâîðèìñÿ, ÷òî ìû âñåãäà ìîæåì òàê çàïèñàòü óðàâíåíèå
(7.3), ÷òîáû I1 = a11 + a22 áûëî áîëüøå íóëÿ.
      Òîãäà:
      1. Ëèíèÿ (7.3) ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïðÿìûå (äåéñòâèòåëüíûå
èëè ìíèìûå) åñëè I 3 = 0 .
    2. Íåðàâåíñòâî I 2 > 0 õàðàêòåðèçóåò ýëëèïòè÷åñêèé òèï ëè-
íèè (7.3).
    3. Íåðàâåíñòâî I 2 < 0 õàðàêòåðèçóåò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï
ëèíèè (7.3).
    4. Ðàâåíñòâî I 2 = 0 õàðàêòåðèçóåò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï ëè-
íèè (7.3).
    Ñâåä¸ì ïåðå÷èñëåííûå âûøå èíâàðèàíòû â òàáëèöó.

Страницы