Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 210 стр.

210

8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà

      Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìàòðèâàåìûå â ïðîñòðàí-
ñòâå, ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Òà-
êèì îáðàçîì, ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
                                  F (x, y ) = 0 ,
óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåò çàäàíî óðàâíåíèåì
                  F (x, y, z ) = 0 ,                   (8.1)
ãäå F (x, y, z ) - íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îò x, y, z .
     Èç-çà îòñóòñòâèÿ âðåìåíè ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü êðàòêèì îïè-
ñàíèåì âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.
     Íà÷í¸ì èçó÷åíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íàèáîëåå
ïðîñòîãî ñëó÷àÿ, êîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (8.1) íå ñîäåðæèò
îäíîé èç êîîðäèíàò, ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ýòî áóäåò êîîð-
äèíàòà z .
     Äîãîâîðèìñÿ, î òîì, ÷òî â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçî-
âàòüñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ).


8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè

    Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè âòî-
ðîãî ïîðÿäêà
                 F (x, y, z ) = 0 ,                       (8.1)
êîãäà ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8.1) íå çàâèñèò îò z .  ýòîì ñëó÷àå
óðàâíåíèå (8.1) ïðèíèìàåò âèä
                 F (x, y ) = 0 .                          (8.2)
    Ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà M 0 (x0 , y0 , z0 ) ïðèíàäëåæèò ðàññìàò-
ðèâàåìîé íàìè ïîâåðõíîñòè (8.2). Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ñ êî-
îðäèíàòàìè x0 , y0 , z ïðè ëþáûõ z òîæå ïðèíàäëåæàò ïîâåðõíîñ-
òè (8.2). Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âñå òî÷êè âèäà x0 , y0 , z îáðàçóþò ïðÿ-