Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

211
ìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè
Oxy
. Ðàññìîòðèì äâå òî÷-
êè ïîâåðõíîñòè (8.2) -
()
0000
zyxM,,
è
()
zyxM,,
00
, è ñîñòàâèì óðàâ-
íåíèå ïðÿìîé (5.35)
n
xz
m
yy
l
xx
00000
−
=
−
=
−
èëè
0
xx =
,
0
yy =
. (5.37)
Ìû èìååì ïðÿìóþ ïà-
ðàëëåëüíóþ îñè àïïëèêàò -
îñè
Oz
. Òàêèì îáðàçîì ìû
âèäèì, ÷òî âìåñòå ñ òî÷êîé
()
0000
zyxM,,
íà ïîâåðõíîñ-
òè (8.2) ëåæèò (ðèñ. 8.1) è
ïðÿìàÿ (5.37), ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó
()
0000
zyxM,,
ïàðàëëåëüíî îñè
Oz
.
Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïîâåðõ-
íîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïàðàëëåëüíûõ çàäàí-
íîìó íàïðàâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè
öèëèíäðîì, à ïðÿìûå ëèíèè - å¸ îáðàçóþùèìè. Ëèíèþ, ëåæàùóþ
íà ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùóþ âñå îáðàçóþùèå íàçîâ¸ì íàïðàâ-
ëÿþùåé ëèíèåé.
Èòàê, ïîâåðõíîñòè íå ñîäåðæàùèå îäíîé èç êîîðäèíàò, îï-
ðåäåëÿþò öèëèíäð ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè ñîîòâåòñòâó-
þùåé îñè êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå 8.1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåð-
õíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëÿþùèå ëèíèè
êîòîðûõ, åñòü ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåííûå â ï. 7.1:
ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ãèïåð-
áîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëà, äâå
äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå
ïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.
Ðèñ. 8.1.
()
0000
,,
zyxM
()
zyxM,,
z
y
x
O
14*
                                                                            211

ìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè Oxy . Ðàññìîòðèì äâå òî÷-
êè ïîâåðõíîñòè (8.2) - M 0 (x0 , y0 , z0 ) è M (x0 , y0 , z ) , è ñîñòàâèì óðàâ-
íåíèå ïðÿìîé (5.35)
                          x0 − x0 y0 − y0 z − x0
                                 =       =
                             l       m       n
èëè
                     x = x 0 , y = y0 .                                (5.37)
                                                  Ìû èìååì ïðÿìóþ ïà-
 z                                          ðàëëåëüíóþ          îñè àïïëèêàò -
                                            îñè Oz . Òàêèì îáðàçîì ìû
                        M 0 (x0 , y0 , z0 ) âèäèì, ÷òî âìåñòå ñ òî÷êîé
       y                                    M 0 (x0 , y0 , z0 ) íà ïîâåðõíîñ-
                        M (x, y, z )        òè (8.2) ëåæèò (ðèñ. 8.1) è
                                            ïðÿìàÿ (5.37), ïðîõîäÿùàÿ
O
                                            ÷åðåç òî÷êó M 0 (x0 , y0 , z0 )
                                            ïàðàëëåëüíî îñè Oz .
       x      Ðèñ. 8.1.
                                            Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïîâåðõ-
íîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïàðàëëåëüíûõ çàäàí-
íîìó íàïðàâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè
öèëèíäðîì, à ïðÿìûå ëèíèè - å¸ îáðàçóþùèìè. Ëèíèþ, ëåæàùóþ
íà ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùóþ âñå îáðàçóþùèå íàçîâ¸ì íàïðàâ-
ëÿþùåé ëèíèåé.
     Èòàê, ïîâåðõíîñòè íå ñîäåðæàùèå îäíîé èç êîîðäèíàò, îï-
ðåäåëÿþò öèëèíäð ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè ñîîòâåòñòâó-
þùåé îñè êîîðäèíàò.
     Îïðåäåëåíèå 8.1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåð-
õíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëÿþùèå ëèíèè
êîòîðûõ, åñòü ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåííûå â ï. 7.1:
ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ãèïåð-
áîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëà, äâå
äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå
ïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.



14*

Страницы