Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 70 стр.

70
Ïðåäëîæåíèå 3.7. Åñëè ðàíã ìàòðèöû îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëè-
íåéíûõ óðàâíåíèé r ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ n , òî ñèñòåìà
èìååò ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó èç n − r ñòîëáöîâ.
     Òàê êàê ñòîëáöû ìàòðèöû (3.19) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè îäíî-
ðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14) è ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî
íåçàâèñèìûìè, îíè, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1 è 2
îïðåäåëåíèÿ 3.4. Ïîêàæåì, ÷òî óäîâëåòâîðåíî è óñëîâèå 3.
     Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçüì¸ì ìàòðèöó (3.16) è äîïîëíèì å¸
íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1.5 n − r ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòðîêà-
ìè äî êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû D ïîðÿäêà n .

                1       0...    0 ar′1+1    ... an′1 
                                                      
                0       1...    0 ar′+21    ... a′n2 
                                                      
                 ...   ...
                          ...   ... ...      ... ... 
              D=0       0...    1 ar′+r 1   ... an′ r 
                                                      
                0       0...    0   1       ... 0  .
                 ...   ...
                          ...   ... ...      ... ... 
                                                     
                 0     0 ...   0      0     ... 1 

    Ïóñòü òåïåðü F - ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿþùàÿ
óñëîâèþ 1, ò.å. AF = O , òîãäà ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû DF áó-
äóò íóëåâûìè ñòðîêàìè, òàê êàê ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû D ÿâ-
ëÿþòñÿ ñòðîêàìè ìàòðèöû A è ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ñòðîêè ìàò-
ðèöû A íà F - åñòü íóëåâàÿ ñòðîêà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
                        RgDF ≤ n − r ,
à òàê êàê DF - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî â ñèëó òåîðåìû 1.7
                        RgDF = n − r .
     Ýòèì ñàìûì ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìàòðèöà (3.19) íåîáîñíîâàí-
íî îáîçíà÷åííàÿ íàìè êàê F íà ñàìîì äåëå è åñòü ôóíäàìåíòàëü-
íàÿ ìàòðèöà.

     Ñèñòåìó ñòîëáöîâ ìàòðèöû (3.19) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëü-
íîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé.