Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 71 стр.

                                                            71
    Âûáèðàÿ äðóãèå áàçèñíûå ñòîëáöû ìû áóäåì ïîëó÷àòü è
äðóãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ, îäíàêî ÷èñëî èõ âñåãäà áóäåò
n−r.

     Ïóñòü F - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû Ax = O . Ðàñ-
ñìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñòîëáåö c âûñîòû n − r . Ñîñòàâèì ïðî-
èçâåäåíèå Fc :
                      Fn×(n−r ) ⋅ c (n −r )×1 = x n×1 .
    Åñëè ïîëîæèòü
                           AFc = O ,
òîãäà Fc = x åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = O , òàê êàê Fc åñòü íå
÷òî èíîå êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû F ñ êîýô-
ôèöèåíòàìè èç c .

Ïðåäëîæåíèå 3.8. Ñòîëáåö x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Ax = O
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ñòîëáåö c , ÷òî
                             x = Fc .
    Ïóñòü x - ðåøåíèå ñèñòåìû, ò.å. Ax = O . Ñîñòàâèì ðàñøè-
ðåííóþ ìàòðèöó F ′ = (F x ) . Òàê êàê êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû
F ′ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû, ìû ìîæåì çàïèñàòü AF ′ = O . Ýòî
çíà÷èò, ÷òî RgF ′ = n − r . Òîãäà ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-Êàïåëëè
äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ñòîëáåö c , äëÿ êîòîðîãî Fc = x .

3.8. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3. Åñëè x 0 - íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû
(3.1), à F - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû
(3.14), òî ñòîëáåö
               x = x 0 + Fc                          (3.20)
ïðè ëþáîì c ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.1).
    Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.20) íàçûâà-
þò îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.