Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

73
4. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà
4.1. Îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèè
íàä âåêòîðàìè
Ïàðó òî÷åê
A
è
B
áóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííîé, åñëè èçâå-
ñòíî êàêàÿ èç íèõ ïåðâàÿ, à êàêàÿ - âòîðàÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.1. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî óïîðÿäî÷åíû, íàçûâà-
åòñÿ íàïðàâëåííûì îòðåçêîì èëè âåêòîðîì. Ïåðâûé èç åãî êîí-
öîâ íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì âåêòîðà, âòîðîé - êîíöîì âåêòîðà.
Íà ÷åðòåæå âåêòîð èçîáðàæàåòñÿ ñòðåëî÷êîé (ðèñ. 4.1).
Èç îïðåäåëåíèÿ 4.1 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð-
íûå âåëè÷èíû äàþò íàì íîâûé ìàòåìàòè÷åñ-
êèé îáúåêò, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëî-
âîé ìåðîé (ñêàëÿðîì) è íàïðàâëåíèåì. Â âåê-
òîðíîé àëãåáðå ñêàëÿðû è âåêòîðû áóäåì ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê îñîáîãî ðîäà àëãåáðàè÷åñêèå
âåëè÷èíû, íàä êîòîðûìè ìû ìîæåì ïðîèçâî-
äèòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè.
Ýòè îïåðàöèè îòðàæàþò õàðàêòåðíûå çàâèñèìîñòè, ñóùå-
ñòâóþùèå ìåæäó ñêàëÿðíûìè è âåêòîðíûìè âåëè÷èíàìè â ãåî-
ìåòðèè è ôèçèêå. Èçó÷åíèå ýòèõ îïåðàöèé è ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò
âåêòîðíîé àëãåáðû.
Óñëîâèìñÿ â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü ñêàëÿðû áóêâàìè è
öèôðàìè:
... 1.75; ; ; âácba ;;;
Âåêòîðû, â îòëè÷èå îò ñêàëÿðîâ, áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè
ïîëóæèðíîãî øðèôòà èëè ïèñàòü ñòðåëî÷êó íàä áóêîé:
... AB;; ; ; ;;;;; kjif
r
rr
r
r
ω
Rba
Îïðåäåëåíèå 4.2. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ñîâïàäàþò, áóäåì íà-
çûâàòü íóëåâûì âåêòîðîì è îáîçíà÷àòü êàê
O
. Íàïðàâëåíèå íó-
ëåâîãî âåêòîðà áóäåì ñ÷èòàòü íåîïðåäåë¸ííûì.
 âåêòîðíîé àëãåáðå âûáèðàåòñÿ îïðåäåë¸ííàÿ åäèíèöà èç-
ìåðåíèÿ äëèí âñåõ âåêòîðîâ íåçàâèñèìî îò èõ íàïðàâëåíèé. Ïî-
a
r
A
B
Ðèñ. 4.1.
                                                                73

4. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà

4.1. Îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèè
     íàä âåêòîðàìè

     Ïàðó òî÷åê A è B áóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííîé, åñëè èçâå-
ñòíî êàêàÿ èç íèõ ïåðâàÿ, à êàêàÿ - âòîðàÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.1. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî óïîðÿäî÷åíû, íàçûâà-
åòñÿ íàïðàâëåííûì îòðåçêîì èëè âåêòîðîì. Ïåðâûé èç åãî êîí-
öîâ íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì âåêòîðà, âòîðîé - êîíöîì âåêòîðà.
     Íà ÷åðòåæå âåêòîð èçîáðàæàåòñÿ ñòðåëî÷êîé (ðèñ. 4.1).
                         Èç îïðåäåëåíèÿ 4.1 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð-
             r     íûå  âåëè÷èíû        äàþò íàì íîâûé ìàòåìàòè÷åñ-
             a
                   êèé îáúåêò, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëî-
                B âîé ìåðîé (ñêàëÿðîì) è íàïðàâëåíèåì. Â âåê-
 A                 òîðíîé àëãåáðå ñêàëÿðû è âåêòîðû áóäåì ðàñ-
      Ðèñ. 4.1.    ñìàòðèâàòü êàê îñîáîãî ðîäà àëãåáðàè÷åñêèå
                   âåëè÷èíû, íàä êîòîðûìè ìû ìîæåì ïðîèçâî-
äèòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè.
     Ýòè îïåðàöèè îòðàæàþò õàðàêòåðíûå çàâèñèìîñòè, ñóùå-
ñòâóþùèå ìåæäó ñêàëÿðíûìè è âåêòîðíûìè âåëè÷èíàìè â ãåî-
ìåòðèè è ôèçèêå. Èçó÷åíèå ýòèõ îïåðàöèé è ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò
âåêòîðíîé àëãåáðû.
     Óñëîâèìñÿ â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü ñêàëÿðû áóêâàìè è
öèôðàìè:
                         a; b; c; á; â ; 1.75; ...
     Âåêòîðû, â îòëè÷èå îò ñêàëÿðîâ, áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè
ïîëóæèðíîãî øðèôòà èëè ïèñàòü ñòðåëî÷êó íàä áóêîé:
                             r          r r r r
                    a; b; R; ω; AB; f ; i ; j ; k ; ...
Îïðåäåëåíèå 4.2. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ñîâïàäàþò, áóäåì íà-
çûâàòü íóëåâûì âåêòîðîì è îáîçíà÷àòü êàê O . Íàïðàâëåíèå íó-
ëåâîãî âåêòîðà áóäåì ñ÷èòàòü íåîïðåäåë¸ííûì.
      âåêòîðíîé àëãåáðå âûáèðàåòñÿ îïðåäåë¸ííàÿ åäèíèöà èç-
ìåðåíèÿ äëèí âñåõ âåêòîðîâ íåçàâèñèìî îò èõ íàïðàâëåíèé. Ïî-

Страницы