Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

75
Îïðåäåëåíèå 4.6. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà
a
r
íà âåùåñòâåííîå ÷èñ-
ëî
R∈λ
, íàçûâàåòñÿ âåêòîð
b
r
, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì
óñëîâèÿì:
à)
ab
r
r
⋅λ=
;
á) âåêòîðû
a
r
è
b
r
êîëëèíåàðíû (ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé
ïðÿìîé);
â)
a
r
è
b
r
íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, åñëè
0>λ
, ïðîòèâîïîëîæ-
íî, åñëè
0<λ
è åñëè
0=λ
, òî
O=b
r
.
Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè.
Ïðåäëîæåíèå 4.1. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ
a
r
,
b
r
è
c
r
èç íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà
L
è ëþáûõ ÷èñåë
α
è
β
èç ïîëÿ
K
o
1
.
abba
r
rr
r
+=+
.
o
2
.
( ) ( )
cbacba
r
r
rr
r
r
++=++
.
o
3
.
aa
rr
=+ O
.
o
4
. Âåêòîð
()
a
r
1
−
- ïðîòèâîïîëîæåí âåêòîðó
a
r
è îáîçíà÷à-
åòñÿ êàê
a
r
−
(ðèñ. 4.3).
()
O
=−=⋅−+
aaaa
rrrr
1
.
o
5
.
() ()
aa
rr
βα=αβ
.
o
6
.
()
aaa
rrr
β+α=β+α
.
o
7
.
( )
baba
r
r
r
r
α+α=+α
.
o
8
.
aa
rr
=⋅1
.
Îïðåäåëåíèå 4.7. Ðàçíîñòüþ äâóõ âåêòîðîâ
a
r
è
b
r
íàçûâàåòñÿ
(ðèñ.4.4) ñóììà âåêòîðîâ
( )
ba
r
r
−+
.
Åñëè
axb
rr
r
=+
, òî
bax
r
rr
−=
.
a
r
a
r
−
Ðèñ. 4.3.
a
r
b
r
bax
r
rr
−=
Ðèñ. 4.4.
                                                            75
                                         r
Îïðåäåëåíèå 4.6. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåùåñòâåííîå ÷èñ-
                                 r
ëî λ ∈ R , íàçûâàåòñÿ âåêòîð b , óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì
óñëîâèÿì:
         r       r
     à) b = λ ⋅ a ;
                  r    r
     á) âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû (ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé
ïðÿìîé);
        r r
     â) a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, åñëè λ > 0 , ïðîòèâîïîëîæ-
                                 r
íî, åñëè λ < 0 è åñëè λ = 0 , òî b = O .

     Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè.
                                        r r     r
Ïðåäëîæåíèå 4.1. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a , b è c èç íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà L è ëþáûõ ÷èñåë α è β èç ïîëÿ K
           r r r r
     1o . a + b = b + a .
            r r r r r r
        (       )       (   )
     2o . a + b + c = a + b + c .
           r        r
     3o . a + O = a .
                           r                       r
     4o . Âåêòîð (− 1)a - ïðîòèâîïîëîæåí âåêòîðó a è îáîçíà÷à-
              r                                       r
åòñÿ êàê − a (ðèñ. 4.3).                              a
      r          r r r
     a + (− 1)⋅ a = a − a = O .               r
                r        r                  −a
       o . (αβ )a = α (β a ) .
     5
                  r      r      r              Ðèñ. 4.3.
     6o . (α + β )a = αa + β a .
             r r                r
            (       )    r
     7 o . α a + b = αa + αb .
              r r
     8o . 1 ⋅ a = a .
                                             r     r
Îïðåäåëåíèå 4.7. Ðàçíîñòüþ äâóõ âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ
                                     r       r
                                ( )
(ðèñ.4.4) ñóììà âåêòîðîâ a + − b .
                                  r          a
                                                         r r r
             r r r             r r r               r     x=a−b
     Åñëè b + x = a , òî x = a − b .
                                                   b
                                      Ðèñ. 4.4.

Страницы