Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 77 стр.

                                                                77
Îïðåäåëåíèå 4.9. Ìíîæåñòâî L , çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî ëèíåé-
íûõ îïåðàöèé, ñ ó÷¸òîì àêñèîì 1o ÷ 8o , íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì
ïðîñòðàíñòâîì.
    Åñëè îäíî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì
äðóãîãî, òî îíî íàçûâàåòñÿ åãî ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Ïðèìåð. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîëëèíåàðíûõ äàííîé ïðÿìîé (îä-
íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî L1 ) è ìíîæåñòâî âåêòîðîâ êîìïëàíàðíûõ
äàííîé ïëîñêîñòè (äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî L2 ) ÿâëÿþòñÿ ïðè-
ìåðàìè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîäïðîñòðàíñòâà-
ìè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà L3 . Ââåä¸ì â ðàññìîòðåíèå íóëü-
ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî L0 , ñîñòîÿùåå èç îäíîãî íóëåâîãî âåêòîðà
O , òîãäà
                        L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ L3 .

4.2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ.
                                          r
     Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîð b ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ
                          r r        r
êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak , åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
           r     r        r              r
           b = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak .               (4.3)
    Íóëåâîé âåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ î÷åâèäíî ïî ëþáîé ñèñòåìå
âåêòîðîâ. Ìû ïîëó÷èì íóëåâîé âåêòîð O , åñëè â (4.3) ïîëîæèì
âñå α i = 0 . Òàêàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé.
                                                r r r
Îïðåäåëåíèå 4.10. Ñèñòåìó âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak áóäåì íàçûâàòü
ëèíåéíî íåçàâèñèìîé åñëè íóëåâîé âåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåé
åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì - òðèâèàëüíûì, ò.å.
                 r        r              r
               α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak = O             (4.4)
ïðè
                       α1 = α 2 = ... = α k = 0 .