Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 76 стр.

76
                          r                   r
Ïðåäëîæåíèå 4.2. Åñëè a ≠ O , òî ëþáîé âåêòîð b êîëëèíåàðíûé
           r
âåêòîðó a , ïðåäñòàâèì â âèäå:
                           r
                   r     b 
                         r
                   b = ± r a .                      (4.2)
                         a 
                         
                                   r   r
çíàê (+) áåð¸òñÿ åñëè âåêòîðû a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à
                          r   r
çíàê (-) - åñëè âåêòîðû a è b íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî.
     Îáîçíà÷èâ
                                 r
                                 b
                                 r =λ,
                                 a
(4.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
                 r      r
                 b = ± λa .                          (4.3)
      Ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ îïåðàöèé ìîæíî ñîñòàâèòü ëèíåéíóþ
êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó L :
                         r       r              r
                      α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak ,
ãäå α1 , α 2 ,..., α k ∈ K êîýôôèöèåíòû.
     Ïðåäëîæåíèå 4.1 äà¸ò íàì ïîëíûé íàáîð ñâîéñòâ ïîçâîëÿþ-
ùèõ ïðîèçâîäèòü ëþáûå âû÷èñëåíèÿ â ëèíåéíûõ êîìáèíàöèÿõ
âåêòîðîâ.
                                         r r     r
Ïðåäëîæåíèå 4.3. Åñëè âñå âåêòîðû a1 , a2 ,..., ak êîëëèíåàðíû (ïà-
ðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïðÿìîé), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíà-
                                         r r     r
öèÿ èì êîëëèíåàðíà, à åñëè âåêòîðû a1 , a2 ,..., ak êîìïëàíàðíû (ëå-
æàò â îäíîé ïëîñêîñòè), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ èì
êîìïëàíàðíà.
Îïðåäåëåíèå 4.8. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ áóäåì ñ÷èòàòü çàìêíóòûì
îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îïåðàöèè, åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ
ýòîãî ìíîæåñòâà ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ äàííîé îïåðàöèè ñíîâà
                                             r r              r
ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó, ò.å., åñëè a , b ∈ L , òî è ar + b ∈ L .