Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 78 стр.

78
                         r r       r
    Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè (4.4) ïî-
ëó÷àåòñÿ èç íå¸ íå åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, ò.å. åñëè õîòÿ áû îäèí
èç α i îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ èëè α12 + α 22 + ... + α 2k ≠ 0 .
Ñâîéñòâà ëèíåéíî-çàâèñèìûõ è ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.
                                      r r        r
      1. Åñëè ñðåäè âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak åñòü íóëåâîé âåêòîð, òî
âñÿ ýòà ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà.
      2. Ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ îäèí âåêòîð ëèíåéíî çàâèñèìà, åñëè
ýòî âåêòîð íóëåâîé.
      3. Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà, òî ëèíåéíî çà-
âèñèìà è ëþáàÿ å¸ ÷àñòü.
      4. Ëþáàÿ ÷àñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû âåêòîðîâ -
ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
                               r r        r
Ïðåäëîæåíèå 4.4. Ïóñòü a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà
                   r      r        r             r
âåêòîðîâ. Åñëè x = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak , òî ýòî ðàçëîæåíèå åäèí-
ñòâåííî.
              r      r       r            r
      Ïóñòü x = β1a1 + β 2 a2 + ... + β k ak äðóãîå ðàçëîæåíèå, òîãäà
          r r               r                r                      r
          x − x = (α1 − β1 )a1 + (α 2 − β 2 )a2 + ... + (α k − β k )ak = O .
                                        r r         r
      Òàê êàê ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà ïî
îïðåäåëåíèþ, ìû äîëæíû ïîëîæèòü
           α1 − β1 = α 2 − β 2 = ... = α k − β k = 0 èëè α i = βi ,
÷òî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 4.5. Ñèñòåìà èç k > 1 âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäèí èç âåêòîðîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî
îñòàëüíûì âåêòîðàì.
            r r          r
     Ïóñòü a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òîãäà
                            r        r              r
                          α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak = O
è îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü ýòî áóäåò, íà-
ïðèìåð, α1 , òîãäà
                         r     α r          α
                         a1 = − 2 a2 − ... − k ak .
                               α1           α1