Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 79 стр.

                                                                79
     Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.

ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1.
     1. Ñèñòåìà èç îäíîãî âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè îí íó-
ëåâîé.
     2. Ñèñòåìà èç äâóõ âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè ýòè âåê-
òîðû êîëëèíåàðíû.
     3. Ñèñòåìà èç òð¸õ âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà ýòè âåêòîðû êîìïëàíàðíû.

4.3. Áàçèñ.

Îïðåäåëåíèå 4.11. Áàçèñîì â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåò-
ñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òàêàÿ, ÷òî
ëþáîé âåêòîð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ïî íåé ðàñêëàäûâàåòñÿ.

      Èç òåîðåìû 4.1 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî:
      1. Â íóëåâîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñà íåò.
      2. Â îäíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ïðÿìàÿ ëèíèÿ) áàçèñ ñîñòî-
èò èç îäíîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà.
      3. Â äâóõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ïëîñêîñòü) áàçèñ ñîñòîèò èç
äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ.
      4.  òð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñ ñîñòîèò èç òð¸õ óïîðÿ-
äî÷åííûõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ.
      Ñìûñë óïîðÿäî÷åííîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, íàïðèìåð,
 r r     r r
a , b è b , a ðàçíûå áàçèñû.
      Òàê êàê âåêòîðû áàçèñà ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî êîýôôèöè-
åíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4.4 îä-
íîçíà÷íû. Ýòè êîýôôèöèåíòû íàçûâàþò êîìïîíåíòàìè èëè êî-
îðäèíàòàìè âåêòîðà â äàííîì áàçèñå.

               r r r
Ïðèìåð. Ïóñòü e1 , e2 , e3 - áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L3 . Òîãäà âåêòîð
 r
a ∈ L3 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ
âåêòîðîâ: