Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

81
Îïðåäåëåíèå 4.13. Äåêàðòîâîé (àôôèííîé) ñèñòåìîé êîîðäèíàò â
ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷êè
O
è áàçèñà
321
,,
eee
rrr
.Òî÷êà
O
íîñèò íàçâàíèå íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïðÿìûå, ïðî-
õîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â íàïðàâëåíèè áàçèñíûõ âåêòî-
ðîâ íàçûâàþòñÿ îñÿìè êîîðäèíàò. Îñü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ áàçèñ-
íîìó âåêòîðó
1
e
r
íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ,
2
e
r
- îñüþ îðäèíàò,
3
e
r
-
îñüþ àïïëèêàò. Ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñè êîîðäèíàò,
íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè.
Îïðåäåëåíèå 4.14. Ïóñòü äàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò
321
,,,
eee
rrr
O
. Êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà
OMr =
r
òî÷êè
M
íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòà-
ìè òî÷êè
M
â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
(ðèñ.4.5) è îáîçíà÷àþòñÿ êàê
zyx ,,
:
321
ezeyexrOM
rrrr
++==
.
Çäåñü
x
- àáñöèññà,
y
- îðäèíàòà, à
z
-
àïïëèêàòà. Êîîðäèíàòû òî÷êè
M
ìû áó-
äåì îáîçíà÷àòü êàê
()
zyxM,,
.
Ðàññìîòðèì (ðèñ.4.6) äâå òî÷êè
()
1111
,,
zyxM
è
()
2222
,,
zyxM
â äåêàðòîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò
321
,,,
eee
rrr
O
, è íàéä¸ì
êîìïîíåíòû âåêòîðà
21
MM
.
2211
OMMMOM =+
èëè
1221
OMOMMM −=
.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 4.6
ìû ìîæåì çàïèñàòü:
()
12121221
,,
zzyyxxMM
−−−
. (4.5)
M
O
1
e
r
2
e
r
3
e
r
x
y
z
1
M
r
r
Ðèñ. 4.5.
Ðèñ. 4.6.
1
M
2
M
1
e
r
2
e
r
3
e
r
O
1
r
r
2
r
r
12
rr
rr
−
6 À.À. Êèðñàíîâ
                                                                                    81
Îïðåäåëåíèå 4.13. Äåêàðòîâîé (àôôèííîé) ñèñòåìîé êîîðäèíàò â
ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷êè O è áàçèñà
 r r r
e1 , e2 , e3 .Òî÷êà O íîñèò íàçâàíèå íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïðÿìûå, ïðî-
õîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â íàïðàâëåíèè áàçèñíûõ âåêòî-
ðîâ íàçûâàþòñÿ îñÿìè êîîðäèíàò. Îñü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ áàçèñ-
                    r                          r                  r
íîìó âåêòîðó e1 íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, e2 - îñüþ îðäèíàò, e3 -
îñüþ àïïëèêàò. Ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñè êîîðäèíàò,
íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè.
Îïðåäåëåíèå 4.14. Ïóñòü äàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò
     r r r
O, e1 , e2 , e3 . Êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà
 r                                                    z
r = OM òî÷êè M íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòà-
ìè òî÷êè M â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
(ðèñ.4.5) è îáîçíà÷àþòñÿ êàê x, y, z :                       r M
                                                             r
                      r    r     r     r              r
                 OM = r = xe1 + ye2 + ze3 .          e3
        Çäåñü x - àáñöèññà, y - îðäèíàòà, à z -    rO r
                                                   e1      e2
àïïëèêàòà. Êîîðäèíàòû òî÷êè M ìû áó- x
                                                                  y
äåì îáîçíà÷àòü êàê M (x, y, z ) .
        Ðàññìîòðèì (ðèñ.4.6) äâå òî÷êè             Ðèñ. 4.5.   M1
M 1 (x1 , y1 , z1 ) è M 2 (x2 , y2 , z2 ) â äåêàðòîâîé
                                                              r r r
                                         ñèñòåìå êîîðäèíàò O, e1 , e2 , e3 , è íàéä¸ì
          M1              r r
           r              r2 − r1        êîìïîíåíòû âåêòîðà M 1M 2 .
           r1
     r                    r         M2               OM 1 + M 1M 2 = OM 2
     e3                   r2
                                         èëè
          O                    r                  M 1M 2 = OM 2 − OM 1 .
r                              e2
e1                                           Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 4.6
              Ðèñ. 4.6.
                                         ìû ìîæåì çàïèñàòü:


                    M 1M 2 (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) .                 (4.5)

6 À.À. Êèðñàíîâ

Страницы