Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

82
Ïðåäëîæåíèå 4.7. ×òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà íàäî èç êî-
îðäèíàò åãî êîíöà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.
4.4.2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè.
Íàéä¸ì êîîðäèíàòû òî÷êè
M
êîòîðàÿ (ðèñ.4.7) äåëèò îòðå-
çîê
AB
â îòíîøåíèè
µ
λ
, ò.å.
µ
λ
=
MB
AM
,
0>λ
,
0>µ
. (4.6)
Òàê êàê
0>λ
è
0>µ
, âåêòîðû
AM
è
MB
íàïðàâëåíû â îäíó
ñòîðîíó è ìû ìîæåì (4.6) ïåðåïèñàòü òàê:
MBAM λ=µ
. (4.7)
Ïóñòü
()
111
,,
zyxA
è
()
222
,,
zyxB
êîîðäèíàòû êîíöîâ îòðåçêà
AB
, à
()
zyxM,,
êîîðäèíàòû òî÷êè
M
â áàçèñå
321
,,,
eeeO
rrr
. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
(4.5) ðàçëîæèì ðàâåíñòâî (4.7) ïî áàçè-
ñó
321
,,,
eeeO
rrr
:
()()
xxxx
−λ=−µ
21
,
()()
yyyy
−λ=−µ
21
, (4.8)
()()
zzzz
−λ=−µ
21
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
0≠µ+λ
ïðèâåä¸ì
ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.8) ê âèäó:
µ+λ
λ+µ
=
21
xx
x
,
µ+λ
λ+µ
=
21
yy
y
,
µ+λ
λ+µ
=
21
zz
z
. (4.9)
Åñëè îäíî èç ÷èñåë
λ
èëè
µ
ìåíüøå íóëÿ, òîãäà òî÷êà
M
áóäåò íàõîäèòñÿ âíå îòðåçêà
AB
äåëÿ åãî â îòíîøåíèè
µ
λ
.
Ðèñ. 4.7.
1
e
r
2
e
r
3
e
r
O
A
B
M
λ
µ
82
Ïðåäëîæåíèå 4.7. ×òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà íàäî èç êî-
îðäèíàò åãî êîíöà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.

4.4.2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè.

     Íàéä¸ì êîîðäèíàòû òî÷êè M êîòîðàÿ (ðèñ.4.7) äåëèò îòðå-

çîê AB â îòíîøåíèè λ µ , ò.å.

               AM        λ
                     =     , λ > 0, µ > 0.                                 (4.6)
               MB        µ

    Òàê êàê λ > 0 è µ > 0 , âåêòîðû AM è MB íàïðàâëåíû â îäíó
ñòîðîíó è ìû ìîæåì (4.6) ïåðåïèñàòü òàê:
             µ AM = λ MB .                                                 (4.7)
     Ïóñòü A(x1 , y1 , z1 ) è B (x2 , y2 , z 2 ) êîîðäèíàòû êîíöîâ îòðåçêà
 AB , à M (x, y, z ) êîîðäèíàòû òî÷êè M                                            B
                 r r r
â áàçèñå O, e1 , e2 , e3 . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó                               µ
(4.5) ðàçëîæèì ðàâåíñòâî (4.7) ïî áàçè-                           M
       r r r                                                  λ
ñó O, e1 , e2 , e3 :                                     A
                                                   r
      µ(x − x1 ) = λ(x2 − x ) ,                    e3

      µ(y − y1 ) = λ(y2 − y ) ,           (4.8)         O             r
                                                  r                   e2
      µ(z − z1 ) = λ(z2 − z ) .                   e1                  Ðèñ. 4.7.
     Ó÷èòûâàÿ, ÷òî λ + µ ≠ 0 ïðèâåä¸ì
ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.8) ê âèäó:
           µx1 + λx2              µy1 + λy2            µz1 + λz 2
      x=             ,       y=             ,     z=              .        (4.9)
             λ+µ                    λ+µ                  λ+µ
     Åñëè îäíî èç ÷èñåë λ èëè µ ìåíüøå íóëÿ, òîãäà òî÷êà

M áóäåò íàõîäèòñÿ âíå îòðåçêà AB äåëÿ åãî â îòíîøåíèè λ µ .

Страницы