Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

84
OMr =
r
è óãëîì
ϕ
ìåæäó ïîëÿðíîé
îñüþ è âåêòîðîì
OMr =
r
. Óãîë
ϕ
áó-
äåì íàçûâàòü ïîëÿðíûì óãëîì.
Ó ïîëþñà
O=r
r
, à óãîë
ϕ
íå îï-
ðåäåë¸í. Îñòàëüíûå òî÷êè ïëîñêîñòè
õàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷åíèåì
0>r
r
è
óãëîì
ϕ
îïðåäåë¸ííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî êðàòíîãî
π2
.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïàðû ÷èñåë
()
ϕ
,r
r
è
()
π+ϕ
kr2,
r
, ãäå
k
- ïðîèç-
âîëüíîå öåëîå ÷èñëî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëÿðíûå êîîðäèíà-
òû îäíîé è òîé æå òî÷êè. Îãðàíè÷èì çíà÷åíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà â
ïðåäåëàõ
π≤ϕ<π−
.
Âûáåðåì íà ïëîñêîñòè ÏÑÊ, ïîìåñòèâ å¸ íà÷àëî â ïîëþñ
O
, îñü àáñöèññ ñîâìåñòèì ñ ïî-
ëÿðíîé îñüþ è óñòàíîâèì ñîîò-
íîøåíèÿ ñâÿçûâàþùèå ïîëÿð-
íûå êîîðäèíàòû ñ äåêàðòîâû-
ìè. Êàê ëåãêî âèäåòü èç
ðèñ.4.10, äåêàðòîâû ïðÿìîó-
ãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè
()
yxM,
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç å¸
ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ôîðìó-
ëàìè:
ϕ=
cosrx
,
ϕ= sinry
. (4.12)
Çäåñü
22
yxr +=
, (4.13)
22
sin
yx
y
+
=ϕ
,
22
cos
yx
x
+
=ϕ
,
x
y
=ϕtg
. (4.14)
Ðèñ. 4.9.
M
O
ϕ
1
r
l
r
r
Ðèñ. 4.10.
O
i
r
x
x
y
y
ϕ
j
r
r
r
M
84
                      M    r
              r            r = OM è óãëîì ϕ ìåæäó ïîëÿðíîé
              r
                                                 r
                           îñüþ è âåêòîðîì r = OM . Óãîë ϕ áó-
          ϕ                äåì íàçûâàòü ïîëÿðíûì óãëîì.
                                             r
 O          r                   Ó ïîëþñà r = O , à óãîë ϕ íå îï-
            1        l
 Ðèñ. 4.9.                 ðåäåë¸í. Îñòàëüíûå òî÷êè ïëîñêîñòè
                                                                r
                           õàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷åíèåì r > 0 è
óãëîì ϕ îïðåäåë¸ííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî êðàòíîãî 2π .
                                r       r
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïàðû ÷èñåë (r , ϕ) è (r , ϕ + 2kπ ) , ãäå k - ïðîèç-
âîëüíîå öåëîå ÷èñëî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëÿðíûå êîîðäèíà-
òû îäíîé è òîé æå òî÷êè. Îãðàíè÷èì çíà÷åíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà â
ïðåäåëàõ − π < ϕ ≤ π .
     Âûáåðåì íà ïëîñêîñòè ÏÑÊ, ïîìåñòèâ å¸ íà÷àëî â ïîëþñ
O , îñü àáñöèññ ñîâìåñòèì ñ ïî-
                                       y
ëÿðíîé îñüþ è óñòàíîâèì ñîîò-
íîøåíèÿ ñâÿçûâàþùèå ïîëÿð-                               M
                                     y             r
íûå êîîðäèíàòû ñ äåêàðòîâû-                        r
ìè. Êàê ëåãêî âèäåòü èç              r
                                     j
ðèñ.4.10, äåêàðòîâû ïðÿìîó-
                                               ϕ                      x
ãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè                      r         x
M (x, y ) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç å¸       O         i
                                                           Ðèñ. 4.10.
ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ôîðìó-
ëàìè:

                          x = r cos ϕ ,
                          y = r sin ϕ .                              (4.12)
Çäåñü
                          r = x2 + y 2 ,                             (4.13)

                      y                          x
        sin ϕ =                 , cos ϕ =            , tgϕ =
                                                               y
                                                                 .   (4.14)
                  x +y
                  2         2
                                            x + y2
                                             2
                                                               x

Страницы