Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

69
Êàæäûé íåáàçèñíûé ñòîëáåö
nrr
aaa
′′′
++
,...,,
21
ðàñêëàäûâàåò-
ñÿ ïî
r
áàçèñíûì ñòîëáöàì (ñòîëáöàì åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïî-
ðÿäêà
r
):
r
r
jjjj
eeea α++α+α=
′
...
2
2
1
1
, (3.17)
ãäå
i
e
- ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà
r
.
Ïåðåïèøåì (3.17) â âèäå:
Oaaaaa
eee
=
′
⋅++
′
⋅+
′
+
′
⋅++
′
⋅+
+α−−α−α−
+−+
njjjr
r
r
jjj
0000
111
2
2
1
1
......
...
.
Êîýôôèöèåíòû ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îáðàçóþò ñòîëáåö
()
T
r
jjj
00100
21
........
α−α−α−
(3.18)
ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14). (Åäèíèöà ñòîèò íà
j
-ì
ìåñòå.)
Ìû ìîæåì ñîñòàâèòü, î÷åâèäíî, ñòîëüêî òàêèõ ðåøåíèé -
ñêîëüêî ó íàñ åñòü íåáàçèñíûõ ñòîëáöîâ, ò.å.
rn −
.
Ïîêàæåì, ÷òî âñå
rn −
ñòîëáöîâ (3.18) ëèíåéíî íåçàâèñè-
ìû, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì èç íèõ ìàòðèöó
α−α−α−
α−α−α−
=
++
++
100
010
001
21
11
2
1
1
...
............
...
...
...
............
...
r
n
r
r
r
r
nrr
F
. (3.19)
Òàê êàê â ïîëó÷åííîé ìàòðèöå ñîäåðæèòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàò-
ðèöà ïîðÿäêà
rn −
ðàíã ìàòðèöû
F
ðàâåí ÷èñëó ñòîëáöîâ, à
çíà÷èò îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
                                                                                                   69

     Êàæäûé íåáàçèñíûé ñòîëáåö a′r +1, a′r +2 ,...,a′n ðàñêëàäûâàåò-
ñÿ ïî r áàçèñíûì ñòîëáöàì (ñòîëáöàì åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïî-
ðÿäêà r ):
                         a′j = α1j e1 + α 2j e 2 + ... + α rj e r ,                  (3.17)
ãäå e i - ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà r .
     Ïåðåïèøåì (3.17) â âèäå:
  − α1j e1 − α 2j e 2 − ... − α rj e r +
                                                                                               .
                      + 0 ⋅ a′r +1 + ... + 0 ⋅ a′j −1 + a′j + 0 ⋅ a′j +1 + ... + 0 ⋅ a′n = O
     Êîýôôèöèåíòû ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îáðàçóþò ñòîëáåö

      (− α   1
              j   − α 2j ... − α rj         0 ... 0 1 0 .. 0            )
                                                                        T
                                                                                     (3.18)
ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14). (Åäèíèöà ñòîèò íà j -ì
ìåñòå.)
     Ìû ìîæåì ñîñòàâèòü, î÷åâèäíî, ñòîëüêî òàêèõ ðåøåíèé -
ñêîëüêî ó íàñ åñòü íåáàçèñíûõ ñòîëáöîâ, ò.å. n − r .

     Ïîêàæåì, ÷òî âñå n − r ñòîëáöîâ (3.18) ëèíåéíî íåçàâèñè-
ìû, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì èç íèõ ìàòðèöó

                      − α1r +1    − α1r + 2    ... − α1n 
                                                          
                      ...           ...        ... ... 
                          r                               
                      − α r +1    − α rr + 2   ... − α rn 
                  F = 1              0         ...   0 
                                                          
                      0               1        ...   0 .                           (3.19)
                      ...            ...       ... ... 
                                                         
                       0              0        ...   1 

    Òàê êàê â ïîëó÷åííîé ìàòðèöå ñîäåðæèòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàò-
ðèöà ïîðÿäêà n − r ðàíã ìàòðèöû F ðàâåí ÷èñëó ñòîëáöîâ, à
çíà÷èò îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.

Страницы