Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

67
Ïðåäëîæåíèå 3.5. Ïóñòü
0
x
- ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ò.å.
bx =
0
A
.
Ñòîëáåö
x
òàêæå áóäåò å¸ ðåøåíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
íàéä¸òñÿ òàêîå ðåøåíèå
y
ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14), ÷òî
yxx +=
0
. (3.15)
Ïóñòü
x
- ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1), ò.å.
bx =A
. Ðàññìîòðèì
ðàçíîñòü
0
xxy −=
.
Äëÿ íå¸
()
Obbxxxxy
=−=−=−=
00
AAAA
.
Îáðàòíî, ïóñòü
y
- ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14) è
yxx +=
0
,
òîãäà
()
bObyxyxx
=+=+=+=
AAAA
00
.
Ýòî ïðåäëîæåíèå ñâîäèò çàäà÷ó îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà ðåøå-
íèé ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1) ê
îïèñàíèþ ìíîæåñòâà ðåøåíèé å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14).
Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà âñåãäà.
Ÿ ðåøåíèåì áóäåò, íàïðèìåð, íóëåâîé ñòîëáåö âûñîòû
n
. Òàêîå
ðåøåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíûì.
Ïóñòü ñòîëáöû ìàòðèöû
A
ñèñòåìû (3.1) ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìû, ò.å.
nRgA =
.
Òîãäà ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà (3.14) èìååò â ñèëó òåîðåìû 3.2
ï.1 åäèíñòâåííîå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå è íåòðèâèàëüíûõ ðåøå-
íèé íå èìååò.
Ïðåäëîæåíèå 3.6. Åñëè
1
x
è
2
x
- ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
òîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14).
Ïóñòü
1
x
è
2
x
- ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (3.14), ò.å.
5*
                                                               67

Ïðåäëîæåíèå 3.5. Ïóñòü x 0 - ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ò.å. Ax 0 = b .
Ñòîëáåö x òàêæå áóäåò å¸ ðåøåíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
íàéä¸òñÿ òàêîå ðåøåíèå y ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14), ÷òî
               x = x0 + y .                            (3.15)
    Ïóñòü x - ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1), ò.å. Ax = b . Ðàññìîòðèì
ðàçíîñòü
                              y = x − x0 .
     Äëÿ íå¸
             Ay = A(x − x 0 ) = Ax − Ax 0 = b − b = O .
     Îáðàòíî, ïóñòü y - ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14) è
                              x = x0 + y ,
òîãäà
               Ax = A(x 0 + y ) = Ax 0 + Ay = b + O = b .

     Ýòî ïðåäëîæåíèå ñâîäèò çàäà÷ó îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà ðåøå-
íèé ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1) ê
îïèñàíèþ ìíîæåñòâà ðåøåíèé å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14).

     Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà âñåãäà.
Ÿ ðåøåíèåì áóäåò, íàïðèìåð, íóëåâîé ñòîëáåö âûñîòû n . Òàêîå
ðåøåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíûì.
     Ïóñòü ñòîëáöû ìàòðèöû A ñèñòåìû (3.1) ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìû, ò.å.
                          RgA = n .
     Òîãäà ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà (3.14) èìååò â ñèëó òåîðåìû 3.2
ï.1 åäèíñòâåííîå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå è íåòðèâèàëüíûõ ðåøå-
íèé íå èìååò.
Ïðåäëîæåíèå 3.6. Åñëè x1 è x 2 - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
òîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14).
    Ïóñòü x1 è x 2 - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (3.14), ò.å.
5*

Страницы