Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 68 стр.

68

                         Ax1 = O è Ax 2 = O .
     Òîãäà, î÷åâèäíî, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α è β
         A(αx1 + βx 2 ) = A(αx1 ) + A(βx 2 ) = αAx1 + βAx 2 = O .
     Åñëè ñèñòåìà (3.14) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, òî èç âñå-
ãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé ìû ìîæåì âûáðàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå
ðåøåíèÿ, òàêèå, ÷òî âñ¸ ðåøåíèÿ áóäóò ÿâëÿòüñÿ èõ ëèíåéíûìè
êîìáèíàöèÿìè.
Îïðåäåëåíèå 3.4. Ìàòðèöà F , ñîñòîÿùàÿ èç ñòîëáöîâ âûñîòû n ,
íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòå-
ìû (3.14) ñ ìàòðèöåé A ðàçìåðîâ m × n , åñëè:
     1. A ⋅ F = O .
     2. Ñòîëáöû ìàòðèöû F ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
     3. Ðàíã ìàòðèöû F ìàêñèìàëåí ñðåäè ðàíãîâ ìàòðèö, óäîâ-
ëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 1.
     Åñëè ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà F ñóùåñòâóåò, òî êàæäûé
å¸ ñòîëáåö â ñèëó óñëîâèÿ 1 åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû (3.14).
     Ñòîëáöû ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû F íàçûâàþòñÿ ôóíäà-
ìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé. Åñëè ñèñòåìà (3.14) íå èìååò íå-
òðèâèàëüíûõ ðåøåíèé, òî ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû íåò, åñëè
åñòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñóùå-
ñòâóåò.
     Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.1 ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû
(3.14) ñîñòîèò èç êîýôôèöèåíòîâ ðàâíîé íóëþ ëèíåéíîé êîìáè-
íàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñèñòåìû. Â äàííîé ñèòóàöèè ðàñøè-
ðåííàÿ ìàòðèöà B ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé A ñèñòåìû, òàê êàê
ñâîáîäíûå ÷ëåíû âñå ðàâíû íóëþ. Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðà-
çîâàíèé ñòðîê ìàòðèöà A ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó:

                 1       0 ... 0 ar′1+1    ... an′1 
                                                     
                 0       1 ... 0 ar′+21    ... a′n2 
           B = A=                                    
                  ...   ... ... ... ...    ... ...  .   (3.16)
                 0       0 ... 1 ar′+r 1   ... an′r 
                 