Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

177Àëãåáðû Ëè
0
=
SpA , òî èç (6.7.5) âûòåêàåò, ÷òî 1det =
iA
e
.  îáùåì ñëó÷àå
10
AAA += , ãäå
0
0
=SpA , SpASpA
=
1
,
()
nESpAA
⋅=
1
.
Òàêèì îáðàçîì,
1
0
iAiA
iA
eee
= ,
0
iA
iSpAiA
eee
= ,
ãäå
0
iA
e
- óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð.
Åñëè
iA
eU
= - óíèòàðíûé îïåðàòîð, ïîëó÷àåì åãî êàíîíè÷åñêîå
ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç óíèìîäóëÿðíûé:
0
det
UUU ⋅= . (6.7.13)
Ïîñìîòðèì, íàñêîëüêî ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îïåðàòîðîâ
ïîõîæå íà ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ îò ÷èñëà.
Óñëîâèå (6.7.7) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ñëàãàåìûå BA, êîììóòèðóþò,
òî ïîêàçàòåëüíîå îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò ñóììó â ïðîèçâåäåíèå, ÷òî ñî-
îòâåòñòâóåò îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.
Åñëè BA, íå êîììóòèðóþò è t ìàëî, òî ñ òî÷íîñòüþ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà
()
itAnEe
itA
+=
,
()
itBnEe
itB
+=
,
()
() ( )
itBitABAit
eeBAitnEe
=++=
+
. (6.7.14)
Ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî ïîðÿäêà
()
22
2
1
AtitAnEe
itA
−+=
,
()
22
2
1
BtitBnEe
itB
−+=
,
()
() ( )
()
222
2
1
BBAABAtBAitnEe
BAit
+++−++=
+
,
() ( )
()
222
2
2
1
BABAtBAitnEee
itBitA
++−++=
,
Àëãåáðû Ëè                                                                             177

SpA = 0 , òî èç (6.7.5) âûòåêàåò, ÷òî det e iA = 1 .  îáùåì ñëó÷àå
A = A0 + A1 , ãäå
       SpA0 = 0 ,           SpA1 = SpA ,            A1 = SpA ⋅ E (n ).
       Òàêèì îáðàçîì,
       e iA = e iA0 e iA1 , e iA = e iSpA e iA0 ,
ãäå   e iA0 - óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð.
     Åñëè U = e - óíèòàðíûé îïåðàòîð, ïîëó÷àåì åãî êàíîíè÷åñêîå
                       iA

ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç óíèìîäóëÿðíûé:
       U = det U ⋅ U 0 .                                                         (6.7.13)
    Ïîñìîòðèì, íàñêîëüêî ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îïåðàòîðîâ
ïîõîæå íà ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ îò ÷èñëà.
     Óñëîâèå (6.7.7) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ñëàãàåìûå A, B êîììóòèðóþò,
òî ïîêàçàòåëüíîå îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò ñóììó â ïðîèçâåäåíèå, ÷òî ñî-
îòâåòñòâóåò îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.
     Åñëè      A, B íå êîììóòèðóþò è t ìàëî, òî ñ òî÷íîñòüþ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà
       e itA = E (n ) + itA , e itB = E (n ) + itB ,
       e it ( A+ B ) = E (n ) + it (A + B ) = e itA e itB .                      (6.7.14)
       Ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî ïîðÿäêà

       e itA = E (n ) + itA − t 2 A 2 ,
                             1
                             2

       e itB = E (n ) + itB − t 2 B 2 ,
                             1
                             2

                                                    (
       e it ( A+ B ) = E (n ) + it (A + B ) − t 2 A 2 + AB + BA + B 2 ,
                                             1
                                             2
                                                                             )
                                                    (
       e itA e itB = E (n ) + it (A + B ) − t 2 A 2 + 2 AB + B 2 ,
                                           1
                                           2
                                                                         )

Страницы