Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

175Àëãåáðû Ëè
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèìâîëè÷åñêîå îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà
E
.
Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1.
( )
SpCC
ee
=
det ; (6.7.5)
2. êàêîâ áû íè áûë C ,
C
e
âñåãäà  îáðàòèìûé îïåðàòîð; (6.7.6)
3. åñëè DCCD = , òî
DCDC
eee
=
+
; (6.7.7)
4.
()
+
=
+
CC
ee
. (6.7.8)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå îïåðàòîðû, áëèçêèå ê
()
nE , èìåþò «ëî-
ãàðèôìû» ÿâëÿþùèåñÿ ìàëûìè îïåðàòîðàìè.
Äëÿ áîëåå òî÷íîé ôîðìóëèðîâêè âûñêàçàííîãî âûøå ïðåäïîëîæå-
íèÿ, ââåä¸ì ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà, îáîáùàþùåå äàííîå â §4.3.
Ïóñòü B - ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â
()
nC . Ïóñòü
çàäàíî
2
n ôóíêöèé âèäà
()
n
n
j
i
tttC
,...,,
1
2
1
1
, îïðåäåë¸ííûõ è íåïðåðûâíûõ
â êóáå
nlkt
k
l
,...,2,1,, =<
ε
. (6.7.9)
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó íàáîðó
()
k
l
t
ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà
j
i
C
è, ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì áàçèñå, îïåðàòîð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ðàçíûì íàáîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû, à íóëåâîìó íà-
áîðó (0,0,,0)  äàííûé îïåðàòîð B . Òîãäà îïåðàòîðû
()
k
l
j
i
tC
ñîñòàâ-
ëÿþò îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà B . Çäåñü ìû ïàðàìåòðèçóåì âñå îïåðàòî-
ðû, áëèçêèå ê B , à íå òîëüêî ïðèíàäëåæàùèå ê íåêîòîðîé ãðóïïå. «Êó-
áè÷åñêàÿ» îêðåñòíîñòü âèäà (4.3.1) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïðè
()
j
i
j
i
k
l
j
i
tBtC
+=
. (6.7.10)
Èìåÿ â âèäó îêðåñòíîñòè îáùåé «ôîðìû», ìîæíî äîêàçàòü ñëåäó-
þùåå:
Ñóùåñòâóþò òàêàÿ îêðåñòíîñòü
ε
O åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà
()
nE
è òàêàÿ îêðåñòíîñòü
η
O íóëåâîãî îïåðàòîðà, ÷òî (6.7.2) óñòàíàâëèâà-
åò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàòîðàìè
C
èç
η
O è
Àëãåáðû Ëè                                                                       175

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèìâîëè÷åñêîå îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà E .
    Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
     1.         ( )
          det e C = e SpC ;                                                (6.7.5)

     2. êàêîâ áû íè áûë           C , e C âñåãäà – îáðàòèìûé îïåðàòîð; (6.7.6)
     3. åñëè     CD = DC , òî e C + D = e C e D ;                          (6.7.7)

                  ( ).
            +
                      +
     4.   eC = eC                                                          (6.7.8)

      Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå îïåðàòîðû, áëèçêèå ê E (n ) , èìåþò «ëî-
ãàðèôìû» ÿâëÿþùèåñÿ ìàëûìè îïåðàòîðàìè.
      Äëÿ áîëåå òî÷íîé ôîðìóëèðîâêè âûñêàçàííîãî âûøå ïðåäïîëîæå-
íèÿ, ââåä¸ì ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà, îáîáùàþùåå äàííîå â §4.3.
     Ïóñòü      B - ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â C (n ) . Ïóñòü
çàäàíî                               (            )
          n 2 ôóíêöèé âèäà Ci j t11 , t 21 ,..., t nn , îïðåäåë¸ííûõ è íåïðåðûâíûõ
â êóáå

     t lk < ε ,       k , l = 1,2,..., n .                                 (6.7.9)

     Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó íàáîðó                (t ) ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà C
                                                      l
                                                       k
                                                                                      i
                                                                                          j


è, ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì áàçèñå, îïåðàòîð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ðàçíûì íàáîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû, à íóëåâîìó íà-
áîðó (0,0, ,0) – äàííûé îïåðàòîð             B . Òîãäà îïåðàòîðû Ci j (t lk ) ñîñòàâ-
ëÿþò îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà               B . Çäåñü ìû ïàðàìåòðèçóåì âñå îïåðàòî-
ðû, áëèçêèå ê B , à íå òîëüêî ïðèíàäëåæàùèå ê íåêîòîðîé ãðóïïå. «Êó-
áè÷åñêàÿ» îêðåñòíîñòü âèäà (4.3.1) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïðè
           ( )
     Ci j t lk = Bi j + t i j .                                            (6.7.10)
    Èìåÿ â âèäó îêðåñòíîñòè îáùåé «ôîðìû», ìîæíî äîêàçàòü ñëåäó-
þùåå:
     Ñóùåñòâóþò òàêàÿ îêðåñòíîñòü                 Oε åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà E (n )
è òàêàÿ îêðåñòíîñòü          Oη íóëåâîãî îïåðàòîðà, ÷òî (6.7.2) óñòàíàâëèâà-
åò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàòîðàìè C èç                     Oη è

Страницы