Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 173 стр.

Àëãåáðû Ëè                                                                                  173


       ε j = Sp (ττ j ).
            1
                                                                                    (6.6.37)
            4
ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ                  σ i , ρ k ïîëó÷àþòñÿ ïî àíàëîãèè ñ
(6.6.14):
       [σ i , ρ k ] = 0 , [σ i , σ k ] = 2 i ε ikl σ l , [ρ i , ρ k ] = 2iε ikl ρ l , (6.6.38)
ãäå   ε ikl - ÷èñëà, àíòèñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî èíäåêñîâ i, k , l , ïðè-
÷¸ì   ε 123 = 1 :
       ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1 ,        ε 132 = ε 321 = ε 213 = −1 .              (6.6.39)
ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äðóãèõ ìàòðèö Äèðàêà ìîãóò áûòü
òàê æå ïîëó÷åíû èç (6.6.14), íàïðèìåð,
       [σ 1 ρ1 ,σ 2 ρ 3 ] = σ 1σ 2 ρ1 ρ 3 − σ 2σ 1 ρ 3 ρ1 = σ 3 ρ 2 − σ 3 ρ 2 = 0 .
       Îáðàçóþùèå Äèðàêà ìîæíî çàäàòü òàáëèöåé

       E (4 ) ρ1   ρ2                  ρ3
       σ 1 σ 1 ρ1 σ 1 ρ 2             σ 1 ρ3
                                             .                                      (6.6.40)
       σ 2 σ 2 ρ1 σ 2 ρ 2             σ 2 ρ3
       σ 3 σ 3 ρ1 σ 3 ρ 2             σ 3 ρ3


        §6.7. Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå

    Ïåðåõîä îò ãðóïï Ëè ê àëãåáðàì Ëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðîå
îáîáùåíèå ëîãàðèôìèðîâàíèÿ ÷èñåë, ïðåâðàùàþùåãî óìíîæåíèå â ñëî-
æåíèå. Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå «ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè» îò ìàòðèöû è
îò îïåðàòîðà. Åñëè        Ci j - n -ðÿäíàÿ êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà, òî îïðåäåëå-

íû å¸ ñòåïåíè                                           (        )
                    C 2 , C 3 ,...; îáîçíà÷èì ÷åðåç j C k i ýëåìåíò ìàòðèöû C k .
Òîãäà äëÿ ëþáûõ         i, j , êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ðÿä