Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

174 Ãëàâà øåñòàÿ
()
() ()
...
!
1
...
!2
1
2
+++++
iCj
k
iCjiCj
kj
i
δ
(6.7.1)
ñõîäèòñÿ ê ñóììå, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì êàê
j
i
E
. Ìàòðèöà
j
i
E
íàçû-
âàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëîì ìàòðèöû
j
i
C
:
C
eE
= . Ðàçëîæåíèå (6.7.1) ìîæíî
çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ñóììèðîâàíèå ïðîèçâî-
äèòñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ji, :
()
...
!
1
...
!2
1
2
+++++==
kC
C
k
CCnEeE
(6.7.2)
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî
C
- îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â
()
nC .
Òîãäà â áàçèñàõ e è
e
′
ìû áóäåì èìåòü ìàòðèöû
ee
CC
′
, , èçîáðàæàþ-
ùèå îïåðàòîð
C
. Ïî àíàëîãèè ñ (6.7.2) ìîæåì çàïèñàòü:
()
...
!
1
...
!2
1
2
+++++=
k
eeee
C
k
CCnEE
,
()
...
!
1
...
!2
1
2
+++++=
′′′′
k
eeee
C
k
CCnEE
 ñîîòâåòñòâèè ñ (1.13.9) ìàòðèöû
ee
CC
′
, ïîäîáíû:
1−
′
=
UUCC
ee
, (6.7.3)
ãäå
U
- íåêîòîðàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
()
()()()
()
1111
...
−−−−
′
==
UCUUUCUUCUUCC
k
eeee
k
e
,
îòêóäà
1−
′
=
UUEE
ee
. (6.7.4)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöà
e
E
′
èçîáðàæàåò â áàçèñå
e
′
òîò æå îïåðàòîð, êîòîðûé ìàòðèöà
e
E
èçîáðàæàåò â áàçèñå e è ìû
îïðåäåëèëè íåêîòîðûé îïåðàòîð
E
, îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþùèé îïå-
ðàòîðó C , êîòîðûé ìîæíî îáîçíà÷èòü ÷åðåç
C
e
, à ðàâåíñòâî (6.7.2)
174                                                                         Ãëàâà øåñòàÿ


      δ i j + ( j C i )+
                           1
                           2!
                             (         )
                              j C 2 i + ... +
                                              1
                                              k!
                                                  (        )
                                                 j C k i + ...                  (6.7.1)


ñõîäèòñÿ ê ñóììå, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì êàê                      Ei j . Ìàòðèöà Ei j íàçû-
âàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëîì ìàòðèöû              Ci j : E = e C . Ðàçëîæåíèå (6.7.1) ìîæíî
çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ñóììèðîâàíèå ïðîèçâî-
äèòñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà                     i, j :

      E = e C = E (n ) + C +
                                      1 2         1
                                         C + ... + C k + ...                    (6.7.2)
                                      2!          k!
      Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî C - îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â                          C (n ) .
Òîãäà â áàçèñàõ      e è e′ ìû áóäåì èìåòü ìàòðèöû Ce , C e′ , èçîáðàæàþ-
ùèå îïåðàòîð C . Ïî àíàëîãèè ñ (6.7.2) ìîæåì çàïèñàòü:

      Ee = E (n ) + Ce +
                                 1 2          1
                                    Ce + ... + C ek + ... ,
                                 2!           k!

      Ee′ = E (n ) + C e′ +
                                  1 2            1
                                     C e′ + ... + C ek′ + ...
                                  2!             k!
      Â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.13.9) ìàòðèöû               Ce , C e′ ïîäîáíû:
      Ce′ = UCeU −1 ,                                                           (6.7.3)

ãäå U - íåêîòîðàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî

      (Ce′ )k    (               )(         )(            )
                = UCeU −1 UCeU −1 ... UCeU −1 = U (Ce ) U −1 ,
                                                                        k


îòêóäà
      Ee′ = UEeU −1 .                                                           (6.7.4)

      Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöà                       Ee′ èçîáðàæàåò â áàçèñå
e′ òîò æå îïåðàòîð, êîòîðûé ìàòðèöà Ee èçîáðàæàåò â áàçèñå e è ìû
îïðåäåëèëè íåêîòîðûé îïåðàòîð                E , îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþùèé îïå-
ðàòîðó   C , êîòîðûé ìîæíî îáîçíà÷èòü ÷åðåç e C , à ðàâåíñòâî (6.7.2)

Страницы