Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

176 Ãëàâà øåñòàÿ
E èç
ε
O .
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî E ëåæèò â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè
ε
O , ìîæíî
ñîïîñòàâèòü E îäèí è òîëüêî îäèí îïåðàòîð
C
èç
η
O òàêîé, ÷òî
Ee
C
=
. Ýòî îïåðàòîð ìîæíî íàçâàòü ëîãàðèôìîì
E
:
EC ln=
. (6.7.11)
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îïåðàòîðàì äàë¸êèì îò
()
nE , íåëüçÿ ïîñòà-
âèòü â ñîîòâåòñòâèå åäèíè÷íûé ëîãàðèôì; íàïðèìåð, îïåðàòîðû
()
nEz
⋅
,
ãäå z - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, èìåþò «ëîãàðèôìàìè» âñå îïåðàòîðû âèäà
()
[]
()
nEkiziz
⋅++
π
2argln
,
,...2,1,0
±±=
k
;
îäíîçíà÷íûé âûáîð àðãóìåíòà z âîçìîæåí ëèøü äëÿ z , áëèçêèõ ê åäè-
íèöå.
Äëÿ êàæäîãî îáðàòèìîãî îïåðàòîðà E ñóùåñòâóåò òàêîé (íå îäíî-
çíà÷íî îïðåäåë¸ííûé) îïåðàòîð
C
, ÷òî Ee
C
= .
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè A - ýðìèòîâ îïåðàòîð, òî
iA
e
- óíèòàðíûé îïå-
ðàòîð; åñëè A - áåññëåäíûé îïåðàòîð, òî
iA
e
- óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð.
Ïóñòü A ýðìèòîâ îïåðàòîð, òîãäà
()() ()()
iAiAiAiA
++
=
è, â ñîîò-
âåòñòâèè ñ (6.7.7),
() ()
++
=
+
iAiAiAiA
eee
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
()
iAiA
−=
+
, èç (6.6.8) ïîëó÷èì
()
()
nEee
iAiA
=
+
.
Òàêèì îáðàçîì,
() ()
1
−+
=
iAiA
ee
è
iA
e
- óíèòàðíûé îïåðàòîð.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäûé óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò âèä
iA
eU
= , AA =
+
. (6.7.12)
Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåíèþ êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z ñ ìîäóëåì 1 â âèäå
α
i
e
, ãäå
α
- äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åñëè
176                                                                       Ãëàâà øåñòàÿ

E èç Oε .
       Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî              E ëåæèò â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè Oε , ìîæíî
ñîïîñòàâèòü         E îäèí è òîëüêî îäèí îïåðàòîð C èç Oη òàêîé, ÷òî
e C = E . Ýòî îïåðàòîð ìîæíî íàçâàòü ëîãàðèôìîì E :
      C = ln E .                                              (6.7.11)
     Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îïåðàòîðàì äàë¸êèì îò E (n ) , íåëüçÿ ïîñòà-

âèòü â ñîîòâåòñòâèå åäèíè÷íûé ëîãàðèôì; íàïðèìåð, îïåðàòîðû                     z ⋅ E (n ),
ãäå   z - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, èìåþò «ëîãàðèôìàìè» âñå îïåðàòîðû âèäà
       [ln z + i(arg z + 2πki )]⋅ E (n ),           k = 0,±1,±2,... ;
îäíîçíà÷íûé âûáîð àðãóìåíòà                 z âîçìîæåí ëèøü äëÿ z , áëèçêèõ ê åäè-
íèöå.
       Äëÿ êàæäîãî îáðàòèìîãî îïåðàòîðà                   E ñóùåñòâóåò òàêîé (íå îäíî-
çíà÷íî îïðåäåë¸ííûé) îïåðàòîð C , ÷òî                    eC = E .
       Ïîêàæåì, ÷òî åñëè             A - ýðìèòîâ îïåðàòîð, òî e iA - óíèòàðíûé îïå-
ðàòîð; åñëè        A - áåññëåäíûé îïåðàòîð, òî e iA - óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð.
     Ïóñòü A ýðìèòîâ îïåðàòîð, òîãäà                    (iA)(iA)+ = (iA)+ (iA) è, â ñîîò-
âåòñòâèè ñ (6.7.7),

       e iA+(iA ) = e iA e (iA ) .
               +               +




       Ó÷èòûâàÿ, ÷òî         (iA)+ = −iA , èç (6.6.8) ïîëó÷èì
           ( )
       e iA e iA
                   +
                       = E (n ).

       Òàêèì îáðàçîì,          (e ) = (e )
                                     iA +   iA −1
                                                    è   e iA - óíèòàðíûé îïåðàòîð.
       Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäûé óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò âèä
       U = e iA ,           A+ = A .                     (6.7.12)
       Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåíèþ êîìïëåêñíîãî
÷èñëà   z ñ ìîäóëåì 1 â âèäå e iα , ãäå α - äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åñëè

Страницы