Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 178 стр.

178                                                            Ãëàâà øåñòàÿ


      e it ( A+ B )e −itB e −itA = E (n ) + t 2 [A, B ] .
                                           1
                                                                   (6.7.15)
                                           2
     Ñîõðàíÿÿ â ðàçëîæåíèÿõ ÷ëåíû äî âòîðîãî ïîðÿäêà, íåòðóäíî ïî-
ëó÷èòü ôîðìóëó
                                                [ A, B ]
      e itA e itB e − itA e − itB = e − t
                                            2
                                                           .       (6.7.16)




      §6.8. Ãðóïïû Ëè è àëãåáðû Ëè

      Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì ñâÿçè ìåæäó ãðóïïàìè Ëè (ñì.
§4.6) è àëãåáðàìè Ëè.
     Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî àëãåáðà Ëè A è ãðóïïà Ëè G ýêñïîíåíöè-
àëüíî ñâÿçàíû, åñëè ìåæäó èõ îïåðàòîðàìè ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå:
êîãäà A ïðîáåãàåò àëãåáðó Ëè, U = e iA ïðîáåãàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ åé
ãðóïïó Ëè.
       ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåä¸ííûì âûøå îïðåäåëåíèåì, ñîñòàâèì òàá-
ëèöó 6.8.1 ñîîòâåòñòâèÿ ãðóïï è àëãåáð Ëè.
      Êàê ìîæíî çàìåòèòü èç òàáëèöû ðàçìåðíîñòü ãðóïïû Ëè ñîâïàäà-
åò ñ ÷èñëîì ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ îáðàçóþùèõ ñîîòâåòñòâóþùåé àëãåá-
ðû Ëè. Óêàçàííàÿ â òàáëèöå ñâÿçü ìåæäó ãðóïïàìè è àëãåáðàìè Ëè â
îáùåì ñëó÷àå íîñèò ëîêàëüíûé õàðàêòåð, òî åñòü îòíîñèòñÿ ê îêðåñòíî-
ñòÿì åäèíè÷íîãî è íóëåâîãî ýëåìåíòà.



      §6.9. Ïîäãðóïïû è ïîäàëãåáðû

      ÏóñòüA′ - àëãåáðà Ëè, G ′ - ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ãðóïïà Ëè, ýêñïî-
íåíöèàëüíî ñâÿçàííàÿ ñ A ′ , A - ïîäàëãåáðà A ′ . Òîãäà äëÿ âñåâîçìîæ-
íûõ îïåðàòîðîâ    A èç A îïåðàòîðû e iA îáðàçóþò ãðóïïó G (ñì. òàá-
ëèöó 6.8.1), ÿâëÿþùóþñÿ ïîäãðóïïîé G ′ . Îáðàòíî, åñëè äàíà ïîäãðóïïà
G ãðóïïû G ′ , òî â àëãåáðå A′ ñóùåñòâóåò ïîäàëãåáðà A , ñ êîòîðîé
ýêñïîíåíöèàëüíî ñâÿçàíà ïîäãðóïïà G .