Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 180 стр.

180                                                             Ãëàâà øåñòàÿ

     ×àñòî ïîäàëãåáðó Ëè A çàäàþò, âûäåëèâ ÷àñòü îáðàçóþùèõ A ′ ,
äëÿ êîòîðûõ êîììóòàòîðû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òå æå îáðàçóþùèå. Åñëè
èçâåñòíà ãðóïïà Ëè       G1 , â àëãåáðå Ëè êîòîðîé ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíî-
øåíèÿ èìåþò òàêîé æå âèä, òî ïîäãðóïïà G ãðóïïû G ′ , ýêñïîíåíöè-
àëüíî ñâÿçàííàÿ ñ       A , è ãðóïïà G1 èìåþò èçîìîðôíûå àëãåáðû Ëè. Â
íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: åñëè G ′
åñòü îäíà è ãðóïï       SU (n ) (n ≥ 2 ) , à G1 èçîìîðôíà SU (n ) ñ òåì æå n ,
òî â îïèñàííîé âûøå ñèòóàöèè ïîäãðóïïà G ñîâïàäàåò ñ G ′ è èçîìîð-
ôíà   G1 .
     Òàêèì îáðàçîì, ïî âèäó ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ïî-
äàëãåáðû Ëè ìîæíî èíîãäà îïðåäåëèòü ñòðîåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé
ïîäãðóïïû.



       §6.10. Ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè

      Ïóñòü   A - àëãåáðà Ëè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äàíî k -ðÿäíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå àëãåáðû      A (èëè ãîìîìîðôèçì A â àëãåáðó AGL(n, C )), åñëè
êàæäîìó îïåðàòîðó    A èç A ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïå-
ðàòîð P ( A), äåéñòâóþùèé â C (k ) , ïðè÷¸ì ñóììå, êðàòíîìó è êîììóòà-
      ~

òîðó îïåðàòîðîâ èç       A ñîîòâåòñòâóþò ñóììà, êðàòíîå è êîììóòàòîð îïå-
ðàòîðîâ â    C (k ) :

                              
P (A + B ) = P (A) + P (B ),
~             ~      ~        
                              
P (λA) = λP (A),
~           ~
                               
                                                                    (6.10.1)
~ 1        1 ~
                  [
P  [A, B ] = P (A), P (B ) .
                      ~
                               ]
  i        i                 