Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 182 стр.

182                                                                                         Ãëàâà øåñòàÿ

îïðåäåëåíèþ ïðåäñòàâëåíèÿ (6.10.1). Ïðîâåðèì ýòî, âûïîëíèâ ñëåäó-
þùèå íåñòðîãèå âû÷èñëåíèÿ, ïðåíåáðåãàÿ ìàëûìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ
îòíîñèòåëüíî t .
    Åñëè
         ( )                                 ( )
                             ~                                  ~
      P e itA = e itA ,                    P e itB = e itB ,
òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.7.15)
         (              ) (                  ) ( )( )
      P eit ( A+ B ) = P e itAeitB = P eitA P eitB .
      Ñ ó÷¸òîì (6.10.2) ìîæåì çàïèñàòü

      e it ( A+ B ) = e itA e itB = e it (A + B )
              ~              ~   ~           ~ ~


è òåì ñàìûì
      P (A + B ) = P (A) + P (B ).
      ~            ~       ~
      Âòîðîå ñîîòíîøåíèå (6.10.1) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
      Ïîëàãàÿ
      1
      i              i
                                 [
        [A, B] = C , 1 P~(A), P~(B ) = D ,             ]                  t =s,
ñ ïîìîùüþ (6.7.16) ïîëó÷èì:

                              ( ) ( [ ] )= P(e
      e itP (C ) = P e itC = P e − s                                                       )=
         ~                                     2
                                                   − A, B            − isA isB isA − isB
                                                                         e e e
      =Pe    (    is (− A   )
                              )P(e )P(e )P(e ( ) ) =
                                 isB         isA            is − B


      = e −isP ( A )e isP (B )e isP ( A )e −isP (B ) = e is D = e itD ,
                  ~          ~         ~       ~                 2




îòêóäà

      ~ 1        1 ~
                                  [
      P  [A, B ] = P (A), P (B ) .
                            ~
                                                        ]
        i        i
                                                                            ~
      Íà ïðàêòèêå óäîáíî íàõîäèòü îïåðàòîð                                  A ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Çàäàþò                                 ( )
             A , íàõîäÿò P e itA , ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû
Ëè èçâåñòíî, à çàòåì ðàçëàãàþò                              ( )
                              P e itA â ðÿä ïî ñòåïåíÿì t ; òîãäà êîýô-
                                         ~
ôèöèåíò ïðè it è åñòü èñêîìûé îïåðàòîð A .
     Âûâåäåì âàæíóþ äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé ôîðìóëó ñ ïîìîùüþ
òîëüêî ÷òî èçëîæåííîãî ìåòîäà.