Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

183Àëãåáðû Ëè
Ïóñòü íàì äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ QP, ãðóïïû
G
â ïðîñòðàíñòâàõ
()
kC è
()
lC , è ïðîèçâåäåíèå
QPR
⊗= ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé â ïðî-
ñòðàíñòâå
() ()
lCkC
⊗
(ñì. §5.5). Òîãäà â ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå îïðåäå-
ëåíî ïðåäñòàâëåíèå R
~
àëãåáðû Ëè
AG
. Âûðàçèì ïðåäñòàâëåíèå R
~
֌-
ðåç ïðåäñòàâëåíèÿ P
~
, Q
~
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A ïðèíàäëåæèò
AG
; òîãäà
itA
e
åñòü îïåðàòîð
ãðóïïû
G
. Ïî îïðåäåëåíèþ,
() () ()
itAitAitA
eQePeR
⊗=
. (6.10.4)
Ñîãëàñíî (6.10.2) ñóùåñòâóþò òàêèå îïåðàòîðû
1
~
A è
2
~
A , ÷òî
()
1
itA
itA
eeP
=
,
()
2
itA
itA
eeQ
=
, (6.10.5)
ïðè÷¸ì
()
APA
~
~
1
=
,
()
AQA
~~
2
=
, (6.10.6)
à
()
AititA
eeR
~
=
,
()
ARA
~
~
=
. (6.10.7)
Èç (6.10.4) ñ ó÷¸òîì (6.10.5) è (6.10.7) ñëåäóåò:
21
~~
~
AitAit
Ait
eee
⊗= . (6.10.8)
Ðàçëàãàÿ (6.10.8) ïî ñòåïåíÿì t ïîëó÷èì:
() ( ) ()
ttBAkElEAA
+⊗+⊗=
21
~~~
,
ãäå
()
tB - îïåðàòîð, èìåþùèé êîíå÷íûé ïðåäåë ïðè 0→t .
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó è ó÷èòûâàÿ (6.10.6) è (6.10.7) ìû îêîí÷àòåëüíî
ïîëó÷èì:
() () () () ()
AQkElEAPAR
~
~~
⊗+⊗=
. (6.10.9)
Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîé ôîðìóëû íàïîìèíàåò ïðàâèëî äèôôå-
ðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ, îáîáùèâ êîòîðîå íà òåíçîðíîå ïðîèçâåäå-
íèå
m
PPR
⊗⊗= ...
1
ëþáîãî ÷èñëà ïðåäñòàâëåíèé, ïîëó÷èì:
Àëãåáðû Ëè                                                                     183

       Ïóñòü íàì äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ               P, Q ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâàõ
C (k ) è C (l ) , è ïðîèçâåäåíèå R = P ⊗ Q ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé â ïðî-
ñòðàíñòâå C (k ) ⊗ C (l ) (ñì. §5.5). Òîãäà â ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå îïðåäå-
                      ~                                              ~
ëåíî ïðåäñòàâëåíèå R àëãåáðû Ëè AG . Âûðàçèì ïðåäñòàâëåíèå R ÷å-
                    ~ ~
ðåç ïðåäñòàâëåíèÿ P , Q .

       Ïðåäïîëîæèì, ÷òî            A ïðèíàäëåæèò AG ; òîãäà e itA åñòü îïåðàòîð
ãðóïïû G . Ïî îïðåäåëåíèþ,
         ( ) ( )                   ( )
       R e itA = P e itA ⊗ Q e itA .                                    (6.10.4)
                                                               ~    ~
       Ñîãëàñíî (6.10.2) ñóùåñòâóþò òàêèå îïåðàòîðû            A1 è A2 , ÷òî
         ( )
       P e itA = e itA1 ,            ( )
                                   Q e itA = e itA2 ,                   (6.10.5)
ïðè÷¸ì
       A1 = P (A) , A2 = Q ( A),
       ~ ~          ~    ~
                                                                        (6.10.6)
à

         ( )                       A = R ( A) .
                                   ~ ~
                       ~
       R e itA = e itA ,                                                (6.10.7)
       Èç (6.10.4) ñ ó÷¸òîì (6.10.5) è (6.10.7) ñëåäóåò:
          ~       ~         ~
       e itA = e itA1 ⊗ e itA2 .                                        (6.10.8)
       Ðàçëàãàÿ (6.10.8) ïî ñòåïåíÿì           t ïîëó÷èì:
       A = A1 ⊗ E (l ) + E (k ) ⊗ A2 + tB(t ) ,
       ~ ~                        ~

ãäå   B(t ) - îïåðàòîð, èìåþùèé êîíå÷íûé ïðåäåë ïðè t → 0 .
    Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó è ó÷èòûâàÿ (6.10.6) è (6.10.7) ìû îêîí÷àòåëüíî
ïîëó÷èì:
       R (A) = P (A) ⊗ E (l ) + E (k ) ⊗ Q ( A) .
       ~       ~                         ~
                                                          (6.10.9)
     Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîé ôîðìóëû íàïîìèíàåò ïðàâèëî äèôôå-
ðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ, îáîáùèâ êîòîðîå íà òåíçîðíîå ïðîèçâåäå-
íèå   R = P1 ⊗ ... ⊗ Pm ëþáîãî ÷èñëà ïðåäñòàâëåíèé, ïîëó÷èì:

Страницы