Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

184 Ãëàâà øåñòàÿ
() () () ( )
() () () ( )
() () ( ) ()
.
~
...
......
~
...
~~
21
221
11
APkEkEkE
kEkEAPkE
kEkEAPAR
mm
m
m
⊗⊗⊗+
++⊗⊗⊗⊗+
+⊗⊗⊗=
(6.10.10)
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå
P
ãðóïïû Ëè
G
â ëþáîì êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ïîñòðîèì ñîîò-
âåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå P
~
àëãåáðû Ëè
AG
â òîì æå ïðîñòðàíñòâå.
Âñå îïåðàòîðû
A
~
èç
()
AGP
~
, ñîãëàñíî (6.10.2), çàäàþòñÿ òîæäåñòâîì
()
AititA
eeP
~
=
,
ïðè÷¸ì îïåðàòîð
Ait
e
~
óíèòàðåí, ïî ïðåäïîëîæåíèþ è ñ ó÷¸òîì (6.10.6)
èìååì
()
()
+
+
−
+
==
AitAitAit
eee
~~~
.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó (6.6.7)
()
AitAit
ee
~
1
~
−
−
=
.
Ââèäó óíèòàðíîñòè
Ait
e
~
èìååì
AitAit
ee
~~
−−
=
+
;
ñëåäîâàòåëüíî,
AA
~~
=
+
è, òàêèì îáðàçîì, äëÿ óíèòàðíîãî ïðåäñòàâëå-
íèÿ ãðóïïû Ëè ïðåäñòàâëÿþùèå îïåðàòîðû àëãåáðû Ëè ýðìèòîâû.
184                                                                  Ãëàâà øåñòàÿ


      R (A) = P1 (A) ⊗ E (k1 ) ⊗ ... ⊗ E (k m ) +
      ~       ~

            + E (k1 ) ⊗ P2 (A) ⊗ E (k 2 ) ⊗ ... ⊗ E (k m ) + ... +
                        ~
                                                                         (6.10.10)

            + E (k1 ) ⊗ E (k 2 )... ⊗ E (k m ) ⊗ Pm (A).
                                                 ~

      Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå                P ãðóïïû Ëè
G â ëþáîì êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ïîñòðîèì ñîîò-
                           ~
âåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå P àëãåáðû Ëè AG â òîì æå ïðîñòðàíñòâå.
Âñå îïåðàòîðû A èç P ( AG ) , ñîãëàñíî (6.10.2), çàäàþòñÿ òîæäåñòâîì
              ~     ~

        ( )
                             ~
      P e itA = e it A ,
                                 ~
ïðè÷¸ì îïåðàòîð              e itA óíèòàðåí, ïî ïðåäïîëîæåíèþ è ñ ó÷¸òîì (6.10.6)
èìååì

      (e )
                                         +

                  = e (itA ) = e −it A .
          ~ +            ~+          ~
        itA

      Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó (6.6.7)

      (e ) ~ −1
        it A
                   = e −itA .
                             ~


                                             ~
      Ââèäó óíèòàðíîñòè                  e itA èìååì
           +
           ~           ~
      e −it A = e −itA ;
                        ~+           ~
ñëåäîâàòåëüíî, A = A è, òàêèì îáðàçîì, äëÿ óíèòàðíîãî ïðåäñòàâëå-
íèÿ ãðóïïû Ëè ïðåäñòàâëÿþùèå îïåðàòîðû àëãåáðû Ëè ýðìèòîâû.

Страницы